Двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла сведено к повторному интегрированию.
1. Область интегрирования ограничена слева и справа вертикальными прямыми и , а снизу и сверху - непрерывными кривыми и , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке (см. рис.9).
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
.
Рис. 9 Рис. 10
2. Область интегрирования ограничена снизу и сверху горизонтальными прямыми и , а слева и справа непрерывными кривыми и , каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (см.рис.10).
В этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле
.
3. Область интегрирования ограничена замкнутой кривой (см.рис.11).
Вычисление двойного интеграла по этой области сводится либо к случаю 1, если границу области разбить на дуги и ; либо к случаю 2 при разбивке границы на дуги , и
.
Рис. 11 Рис. 12
Пример.
Вычислить , если область ограничена окружностью (см. рис.12).
В первом способе вычисления разрешаем уравнение окружности относительно , в результате чего находим уравнение дуги и дуги .
Тогда двойной интеграл запишем в виде повторного
.
Вычисляя внутренний интеграл, получим
.
Интегрируя данную функцию по переменной , найдем значение двойного интеграла
.
Теперь изменим порядок интегрирования и запишем двойной интеграл в виде следующего повторного
.
Внутренний интеграл равен нулю, поэтому можно заключить о равенстве нулю двойного интеграла .
Сравнение двух способов вычисления показывает преимущество второго, так как здесь интегрирование производится только один раз.
4. Граница области интегрирования состоит из трех и более дуг.
Такая область вертикальными и горизонтальными прямыми разбивается на части, подходящие под случаи 1 и 2. Пример такой разбивки показан на рис.13. Двойной интеграл для данной области вычисляется по формуле
.
Рис. 13 Рис. 14
Пример.
Вычислить по области, изображенной на рис.14.
Разбиваем область интегрирования на части и и вычисляем двойные интегралы по каждой из этих областей согласно случаю 1.
Находим
,
,
.
Примененный метод вычислений для данной области не является рациональным, так как область непосредственно подходит под вид 2. Поэтому интегрирование лучше производить следующим образом
.
Кроме прямоугольных координат и для вычисления двойного интеграла могут быть использованы полярные координаты и . Прямоугольные и полярные координаты связаны между собой соотношениями: , . Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат к полярным осуществляется по формуле
Если область интегрирования ограничена лучами , и кривыми , , где и - однозначные функции при и r1, то двойной интеграл вычисляется по формуле
.
Переход к полярным координатам применяют, если область интегрирования задана в полярных координатах или если это упрощает подынтегральную функцию.
Рис. 15
Пример.
Вычислить по области, показанной на рис.15.
Границы области интегрирования заданы кривыми в полярных координатах, поэтому двойной интеграл также считаем в полярных координатах
Пример.
Вычислить , если область ограничена окружностью .
В этом примере удобно перейти к полярным координатам, так как это упрощает подынтегральную функцию и сверх того делает более простыми пределы интегрирования. После перехода к полярным координатам двойной интеграл запишется в виде
.
Вычисляя внутренний интеграл, получим
.
После интегрирования по найдем значение двойного интеграла
.
В общем случае преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат и к криволинейным и , связанным друг с другом соотношениями , , осуществляется по формуле
,
где
(якобиан).
Записанная формула справедлива, если функции j и имеют непрерывные частные производные и устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей и и, кроме того, если якобиан сохраняет постоянный знак в области .
Пример.
Вычислить по области, ограниченной эллипсом , двойной интеграл .
С целью упрощения подынтегральной функции и области интегрирования перейдем к криволинейным координатам и , связанным с прямоугольными соотношениями: , , , . В новой системе координат область интегрирования преобразуется в прямоугольную область: , .
Якобиан преобразования координат равен
.
Осуществив преобразование координат и интегрируя, придем к следующему результату