Вычисление объемов тел

Криволинейным цилиндром с основанием D, лежащим в плоскости xOy, называется тело T, ограниченное этим основанием, некоторой поверхностью z=f(x,y) и боковой цилиндрической поверхностью (рис.1.20).

Объем V такого цилиндра определяется следующим образом: разбиваем основание D на определенное количество непересекающихся частей D. Затем разбиваем весь цилиндр T на цилиндрообразные части T_i, основания которых являются D_i. Очевидно, что объем цилиндра T равен сумме объемов его частей T_i. Для нахождения объема части T_i выберем в D_i некоторую точку (x_i,y_i) и заменим часть T_i с криволинейным верхним основанием цилиндром с постоянной высотой, равной f(x_i,y_i) и тем же основанием D_i. Примем объем цилиндра T_i приближенно равным f(x_i,y_i)Ds_i (Ds_i – площадь D_i). Тогда сумма

.

приблизительно равняется объему цилиндра. Ясно, что сумма s_n представляет собой интегральную сумму функции f(x,y) по области D. В результате мы получаем, что двойной интеграл представляет собой объем соответствующего криволинейного цилиндра (в этом заключается геометрический смысл двойного интеграла).

Пример 1.11*. Найти интеграл , рассматривая его как предел интегральных сумм.

Решение. Разобьем область интегрирования на квадраты прямыми

и вычислим значение подынтегральной функции в правом верхнем углу каждого квадрата. Составим интегральную сумму

,

где . Тогда

.

Пример 1.12. Найти объем тела V, который получается в результате пересечения цилиндра и сферы (рис. 1.21).

Решение. Объем данного тела находим по формуле

,

где функция определена в круге, задаваемом неравенством

.

Итак, получаем

.

Переходя к полярным координатам, приходим к интегралу

.

Здесь – уравнение границы упомянутого круга в полярных координатах.