Вычисление площадей плоских фигур

Как было установлено, площадь области интегрирования D может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле

(1.16)

Эта формула более универсальна, чем соответствующая формула, выражающая площадь криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла, т.к. данная формула применима не только к криволинейным трапециям, но и к фигурам, расположенным произвольно по отношению к координат­ным осям. В частности, если фигура ограничена двумя кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x) и двумя прямыми x=a и x=b (см. рис. 1.16), то получим формулу

.

Это есть формула вычисления площадей плоских фигур при помощи определенных интегралов.

Пример 1.9. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями x²=y, x²=4y, y=4.

Решение. Изобразим данную фигуру (рис. 1.17). Видно, что полученная фигура состоит из двух одинаковых областей: D₁ и D₂. следовательно

.

Интегрирование во внешнем интеграле будем производить по переменной y (в противном случае область интегрирования пришлось бы разбивать на две части). Тогда переменная y будет изменяться от 0 до 4, а переменная x, соответственно, от параболы до параболы . В результате получаем

.

В случае полярной системы координат площадь плоской фигуры вычисляется при помощи интеграла

(1.17)

В частности, если область интегрирования имеет вид, изображенный на рис. 1.18, то получим

.

Это есть известная формула вычисления площадей при помощи определенных интегралов в полярной системе координат.

Пример 1.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .

Решение. Запишем уравнение линии в полярной системе координат

,

т.е.

.

Построим эту линию (рис. 1.19). Поскольку полученная формула симметрична относительно осей Ox и Oy, то достаточно вычислить площадь четвертой части этой фигуры, а затем умножить полученный результат на 4:

.