Замена переменных в двойном интеграле

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют замену переменных, т.е. вводятся новые переменные под знаком двойного интеграла.

Определим преобразование независимых переменных x и y (замену переменных) как

и .

(1.5)

Если функции (1.5) имеют в некоторой области плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

,

(1.6)

а функция непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

.

(1.7)

Функциональный определитель (1.6) называется определителем Якоби или якобианом (Г.Якоби – немецкий математик).

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат x и y полярными координатами r и φ.

В качестве u и v возьмем полярные координаты r и φ. Они связаны с декартовыми координатами формулами , .

Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (1.6) как

.

Формула замены переменных (1.7) принимает вид:

,

где – область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Замечание. 1) Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу.

2) Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид ; область D есть круг или его часть.

3) На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены , , ; уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и φ (исследуя закон изменения r и φ точки при ее отождествлении с точкой области D).

Пример. Вычислить , где область D – круг .

Решение: Применив формулу замены переменных, перейдем к полярным координатам:

.

Рисунок 7

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см рисунок 7) , . Заметим: область D – круг – преобразуется в область – прямоугольник. Поэтому, имеем:

.