Вычисление двойного интеграла

Рассмотрение вопроса о вычислении двойного интеграла будем связывать, в первую очередь, с формой области D, последовательно рассмотрев случая, каждый следующий, из которых обобщает предыдущий.

I случай. Область D – прямоугольник (рисунок 4).

Рисунок 4

	(1.1)
	(1.2)

Для того, чтобы найти двойной интеграл по прямоугольной области D необходимо проинтегрировать функцию по одной из переменных в пределах ее фактического изменения, считая другую переменную фиксированной величиной (константой), а затем вычислить интеграл от функции другой переменной в пределах ее фактического изменения.

II случай. Область D – простая область, т.е. такая область, что любая прямая параллельная одной из координатных осей пересекает границу области не более чем в двух точках. Исключения могут составлять участки границы параллельные координатным осям (рисунок 5).

Рисунок 5

Поместим эту область внутрь прямоугольника стороны, которого параллельны осям и касаются границы области D.

Пусть дуга задается уравнением: , а дуга уравнением: . Рассуждая аналогично случаю I, приходим к формуле:

(1.3)

Получим другую формулу, предварительно предположив, что дуга задается уравнением: , а дуга уравнением: . Приходим к формуле:

(1.4)

Для того, чтобы вычислить двойной интеграл по простой области D, необходимо проинтегрировать функцию по одной из переменных в пределах ее фактического изменения, а затем полученную функцию другой переменной проинтегрировать по этой переменой в пределах ее максимального изменения.

Процедура применения формул (1.3) и (1.4) называется кратным (или повторным) интегрированием, а переход от правой части формулы (1.3) к правой части формулы (1.4) (или наоборот) называется изменением порядка интегрирования в двойном интеграле. При этом называют внутренним интегралом.

Замечание. 1) Формулы (1.3) и (1.4) справедливы и в случае когда , .

2) Если область D простая в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (1.3), так и формуле (1.4), при этом выбирается то направление интегрирования, которое приводит к меньшему числу вычислений.

3) Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле постоянны, а внутренние переменные.

III случай. Область D – произвольная область (рисунок 6).

Рисунок 6

В этом случае область D при помощи прямых параллельных осям можно разбить на конечное число простых областей. По каждой из этих областей интеграл считается как в случае II, отсюда следует формула:

.