Объем цилиндрического тела

Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью , снизу – замкнутой областью D плоскости Oxy, с боков – цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рисунок 2).

Рисунок 2

Такое тело называется криволинейным цилиндром. Найдем объем такого тела. Для этого разобьем область D произвольно на n областей , площади которых . Рассмотрим криволинейные цилиндры с основаниями , ограниченные сверху кусками поверхности (на рисунке 2 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначим объем цилиндра с основанием через , получим

.

Возьмем на каждой площадке произвольную точку и заменим каждый криволинейный цилиндр прямым с тем же основанием и высотой . Объем этого цилиндра приближенно равен объему криволинейного цилиндра, т.е. . Тогда получаем:

.

Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры областей . При переходе к пределу при это приближение становится точным:

.

Так как функция интегрируема, то предел интегральной суммы и конечен и равен двойному интегралу от этой функции по области D. Следовательно:

.

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему криволинейного цилиндра. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.