Основная формула интегрального исчисления.
.
Доказательство:
Можно применить свойство V к функциям 
, 
и 
или непосредственно воспользоваться очевидными неравенствами:
, (*)
(*) Так как 
, то все 
.
Доказанным соотношением можно создать более удобную форму равенства, освобождаясь в то же время от ограничения .
Теорема о среднем значении. Пусть интегрируема в 
, (
) и пусть во всём этом промежутке 
; тогда
,
где 
.
Доказательство:
Если , то по свойству VIII будем иметь
. Положив 
, получаем требуемое равенство. Для случая, когда 
, проводим то же рассуждение для 
, а затем, переставив пределы, приходим к прежней формуле.
Ч.т.д.
При дополнительном предположении о непрерывности на можно утверждать, что на этом промежутке найдётся точка 
такая, что
Обобщённая теорема о среднем значении. Пусть:
1)и 
интегрируемы в ;
2);
3)во всём промежутке не меняет знака: 
.
Тогда
,
где .
Доказательство:
Пусть сначалаи ; тогда имеем
.
В силу предположения о функции имеем 
.
Если этот интеграл равен нулю, то из предыдущих неравенств ясно, что одновременно также 
, и утверждение теоремы становиться очевидным.
Если же интеграл больше нуля, то, разделив на него все части полученного выше двойного неравенства, положим
и придём к требуемому результату.
От случая легко можно перейти к случаю , равно как от предположения - к предположению 
: перестановка пределов или изменение знака не нарушает равенства.
Если непрерывна, то эта формула может быть записана следующем образом:
Определённый интеграл как функция верхнего предела.
Если функция интегрируема в , 
, то они интегрируемы в 
, где x – любое значение из . Заменив предел “b” определённого интеграла переменной x, получим выражение: 
, (7)
которое, очевидно, является функцией от x. Эта функция обладает следующими свойствами:
I.Если интегрируема в , то 
будет непрерывной функцией от .
Доказательство:
Придав x произвольное приращение 
(с тем, чтобы 
), получим новое значение функции (7) 
,
так что 
.
Применим к этому интегралу теорему о среднем значении
, (8)
Здесь 
содержится между точными границами 
и 
функции в 
, а следовательно, и подавно между (постоянными) границами её m и M в основном промежутке . Если устремить теперь h к нулю, то, очевидно, 
или 
, что и доказывает непрерывность функции 
.
II.Если функцию предположить непрерывной в точке t=x, то в этой точке функция имеет производную, равную , 
.
Доказательство:
Действительно, из (8) имеем 
, где 
.
Но, ввиду непрерывности функции в точке t=x, по любому 
найдётся такое 
, что при 
, 
для всех значений t в промежутке 
, так что
.
Теперь ясно, что
.
Ч.т.д.
Мы пришли к заключению, имеющему огромное принципиальное и прикладное значение. Если предположить функцию непрерывной во всём промежутке , то она интегрируема и предыдущее утверждение оказывается приложим любой точке x этого промежутка: производная от интеграла (7) по переменному верхнему пределу x везде равна значению подынтегральной функции на этом пределе. Иными словами, для непрерывнойв функции всегда существует первообразная; примером её является определённый интеграл (Ф) с переменным верхним пределом.
Для непрерывной в функции интеграл 
является первообразной функцией. Если F(x)есть любая первообразная для , то
.
Постоянную С легко определить, положив здесь x=a, ибо 
; будем иметь:
.
Окончательно
.
В частности, при x=b получим
, (A)
Это – основная формула интегрального исчисления или формула Ньютона-Лейбница.
Если применить к интегралу теорему о среднем и вспомнить, что 
, то получим
, 
;
Здесь легко узнается формула Лагранжа для функции F(x). Таким образом, с помощью основной формулы (А) устанавливается связь между теоремами о среднем в дифференциальном и интегральном исчислении.
Формула (А) даст эффективное и простое средство для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции f(x).
Приведем примеры использования формулы (А). Заметим, что разность справа в формуле (А) обычно изображают символом «двойной подстановки от a до b» и формулу пишут в виде
, (А*)
Примеры:
1)
2)
, (a>0,b>0)
И другие.