Доказательство
Рассмотрим тройной интеграл от дивергенции поля по области
Пусть – замкнутая поверхность, ограничивающая область . Проведём цилиндрическую поверхность, проектирующую на область в плоскости (рис. 13). Поверхность разбивается при этом на две поверхности: , уравнение которой и , уравнение которой .
Рис. 13.
Цилиндрическая поверхность пересекает область по линии . Тогда, разбивая тройной интеграл на три , и , вычислим каждый из них отдельно.
.
Зададим единичную нормаль к поверхности в виде: , где - углы нормали с координатными осями , и .
Два последних двойных интеграла являются поверхностными интегралами, вычисленными при проектировании поверхности в плоскость . Причем первый интеграл – интеграл по поверхности , на которой . Второй интеграл – интеграл по поверхности , на которой . Учитывая, что , интеграл можно записать в виде суммы поверхностных интегралов.
.
где интегрирование ведётся по всей поверхности в направлении внешней нормали, а угол – угол между нормалью и осью .
Аналогично, проектируя поверхность в координатную плоскость (рис. 14), можно показать, что
,
где интегрирование ведётся по всей поверхности в направлении внешней нормали, а угол – угол между нормалью и осью .
Рис.14.
При проектировании поверхности в координатную плоскость (рис. 15), показывается, что
,
где интегрирование ведётся по всей поверхности в направлении внешней нормали, а угол – угол между нормалью и осью .
Рис. 15.
Тогда тройной интеграл равен сумме всех трех поверхностных интегралов.
,
где – единичная внешняя нормаль к границе области .
Задача
Вычислите поток векторного поля через замкнутую поверхность : , , , в направлении внешней нормали по теореме Гаусса--Остроградского.