Вычисление поверхностного интеграла второго рода
Пусть задано векторное поле и требуется вычислить поверхностный интеграл второго рода , в котором интегрирование ведется по поверхности в направлении заданной единичной нормали .
Пусть уравнение поверхности имеет вид и эта поверхность однозначно проектируется на область в плоскости .
Записывая уравнение поверхности в виде , определим единичную нормаль к поверхности по формуле
,
где , а знак выбирается по следующему правилу:
знак плюс берется, если ,
знак минус – если .
Поскольку , а , то поверхностный интеграл можно записать в виде:
или
.
Полученный поверхностный интеграл первого рода от функции по поверхности сведем к двойному интегралу по области – проекции в координатную плоскость . Для этого представим и сократим подынтегральное выражение на множитель . Получим
или
.
Если поверхность задана неявно уравнением , то, проектируя ее на координатную плоскость в область , получим
;
проектируя ее на координатную плоскость в область , получим
;
проектируя ее на координатную плоскость в область , получим
.
Во всех этих формулах следующее правило выбора знака:
знак плюс берется, если ,
знак минус – если .
Задача
Вычислите поток векторного поля через замкнутую поверхность : , , , в направлении внешней нормали