Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Пусть задано векторное поле и требуется вычислить поверхностный интеграл второго рода , в котором интегрирование ведется по поверхности в направлении заданной единичной нормали .

Пусть уравнение поверхности имеет вид и эта поверхность однозначно проектируется на область в плоскости .

Записывая уравнение поверхности в виде , определим единичную нормаль к поверхности по формуле

,

где , а знак выбирается по следующему правилу:

знак плюс берется, если ,

знак минус – если .

Поскольку , а , то поверхностный интеграл можно записать в виде:

или

.

Полученный поверхностный интеграл первого рода от функции по поверхности сведем к двойному интегралу по области – проекции в координатную плоскость . Для этого представим и сократим подынтегральное выражение на множитель . Получим

или

.

Если поверхность задана неявно уравнением , то, проектируя ее на координатную плоскость в область , получим

;

проектируя ее на координатную плоскость в область , получим

;

проектируя ее на координатную плоскость в область , получим

.

Во всех этих формулах следующее правило выбора знака:

знак плюс берется, если ,

знак минус – если .

Задача

Вычислите поток векторного поля через замкнутую поверхность : , , , в направлении внешней нормали