Решение

Масса тонкой плоской пластины с плотностью определяется по формуле

.

Чтобы построить область , приведем уравнение кривой к каноническому виду.

.

Это уравнение является уравнением окружности с центром в точке и радиусом 2. Область показана на рисунке 8.

Рис. 8.

Перейдем к полярной системе координат. Поскольку

то масса пластины определяется следующим интегралом:

.

Чтобы свести двойной интеграл к повторному, запишем уравнения всех границ области интегрирования в полярных координатах.

1) Уравнение окружности в полярных координатах:

или

.

Разделив последнее равенство на , получим полярное уравнение окружности .

2) Поскольку область интегрирования в правой полуплоскости (рис. 8), то прямая является частью границы области только при и ее полярное уравнение имеет вид .

Следовательно, для области интегрирования справедливо

.

Тогда

.