Доказательство

Теорема о среднем

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то в этой области существует такая точка , для которой выполняется равенство

,

где – площадь области .

Непрерывная в ограниченной замкнутой области функция принимает в ней наибольшее и наименьшее значения, то есть для всех точек выполняется неравенство , где и - наименьшее и наибольшее значения функции ,

По теореме об оценке двойного интеграла справедливо неравенство , в котором через обозначена площадь области .

Разделив все части неравенства на величину площади , получим

.

Из последнего неравенства следует, что - одно из значений непрерывной функции , для которой все точки промежутка являются ее значениями. Умножив обе части последнего равенства на , получим необходимое равенство .

Значение функции называется средним значением.