Доказательство

Теорема сравнения

Если функции и - непрерывны в области и если для всех точек для этих функций выполнено неравенство , то аналогичное неравенство выполняется и для двойных интегралов от этих функций, то есть .

Из неравенства следует аналогичное неравенство для интегральных сумм

,

из которого на основании предельного перехода в неравенстве следует:

.

Функции интегрируемы на области , так как они на этой области непрерывны. Следовательно, оба предела существуют и конечны. Тогда по определению двойного интеграла справедливо неравенство

.