Вычисление двойного интеграла (простейший случай).

 

Области интегрирования I и II типа

Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования D, а для областей определённого типа. Введём понятия областей интегрирования типа I и II.

 

Определение 1: Говорят, что область D на плоскости относится к типу I или является элементарной относительно оси Oy, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от x, и описывается неравенствами:

или другими словами: контур области D встречается со всякой пересекающей его вертикальной прямой не более, чем в двух точках.  

 

в этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле:

 

Определение 2: Говорят, что область D на плоскости относится к типу II или является элементарной относительно оси Ox, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от y, и описывается неравенствами:

или другими словами: контур области D встречается со всякой пересекающей его горизонтальной прямой не более, чем в двух точках.  

 

в этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле:

Замечание: если контур области D не подходит ни под область I типа, ни под область II типа, то область разбивают на несколько частей так, чтобы к каждой части могли быть применены вышеуказанные формулы.

 

Пример 1: расставить пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями: у=2х2; 4х=у2.

Рассмотрим приведение двойного интеграла к повторному (двукратному) по области D - I типа:

;

a=0; b=1; y=2x2; 4x=y2 Þ ;

Рассмотрим приведение двойного интеграла к повторному (двукратному) по области D - II типа:

;

c=0; d=2; 4x=y2 Þ ; y=2x2 Þ ;

Пример 2: Изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле:

Построим чертёж:

Разобьём прямой у=0 данную область D на две, тогда:

 

Пример 3: вычислить , где область D ограничена линиями у=х2, у=0, х+у-2=0.