Вычисление двойного интеграла (простейший случай).
Области интегрирования I и II типа
Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования D, а для областей определённого типа. Введём понятия областей интегрирования типа I и II.
Определение 1: Говорят, что область D на плоскости относится к типу I или является элементарной относительно оси Oy, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от x, и описывается неравенствами:
или другими словами: контур области D встречается со всякой пересекающей его вертикальной прямой не более, чем в двух точках.
| 
|
в этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле:
Определение 2: Говорят, что область D на плоскости относится к типу II или является элементарной относительно оси Ox, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от y, и описывается неравенствами:
или другими словами: контур области D встречается со всякой пересекающей его горизонтальной прямой не более, чем в двух точках.
| 
|
в этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле:
Замечание: если контур области D не подходит ни под область I типа, ни под область II типа, то область разбивают на несколько частей так, чтобы к каждой части могли быть применены вышеуказанные формулы.
Пример 1: расставить пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями: у=2х2; 4х=у2.
Рассмотрим приведение двойного интеграла к повторному (двукратному) по области D - I типа:
;
a=0; b=1; y=2x2; 4x=y2 Þ 
;
Рассмотрим приведение двойного интеграла к повторному (двукратному) по области D - II типа:
;
c=0; d=2; 4x=y2 Þ 
; y=2x2 Þ 
;
Пример 2: Изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле: 
Построим чертёж:
Разобьём прямой у=0 данную область D на две, тогда:
Пример 3: вычислить 
, где область D ограничена линиями у=х2, у=0, х+у-2=0.
