Двойные интегралы.

Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z=f(x, y). Двойной интеграл от функции f(x, y) обозначается как

или

где D − область интегрирования в плоскости Oxy, х и у - переменные интегрирования, функция f(x, y) называется интегрируемой в области D.

Для всякой ли функции f(x, y) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (достаточное условие интегрируемости функции): Если функция z=f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.

Величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объёму цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Приложения двойного интеграла:

с помощью двойных интегралов рассчитываются различные величины и в геометрии и в физике …, но мы остановимся лишь на вычислении объёма, который находится по формуле:

,

где z=f(x, y) – уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.