Автоматизация построения математических моделей СУ

Классификация математических моделей САУ

Требования к математическим моделям СУ

 

Под математической моделью (ММ) обычно понимается отображение реального объекта с помощью системы математических соотношений.

Математические модели служат для описания свойств объектов в процедурах автоматизированного проектирования. Если проектная процедура включает создание ММ и оперирование ею с целью получения полезной информации об объекте, то говорят, что процедура выполняется на основе математического моделирования.

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности.

Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражает лишь некоторые свойства объекта.

Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ.

Адекватность ММ - способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Поскольку выходные параметры являются функциями векторов параметров внешних Q и внутренних Х, погрешность Ej зависит от значений Q и Х.

Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов. Чем они меньше, тем модель экономичнее.

 

По характеру отображаемых свойств объекта ММ делятся на структурные и функциональные.

Структурные ММ предназначены для отображения структурных свойств объекта. Различают структурные ММ топологические и геометрические.

В топологических ММ отображаются состав и взаимосвязи элементов. Их чаще всего применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки конструктивных элементов к определенным пространственным позициям (например, задачи компоновки оборудования, размещения деталей, трассировки соединений) или к относительным моментам времени (например, при разработке расписаний, технологических процессов). Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц (матриц), списков и т.п.

В геометрических ММ отображаются свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические ММ могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей; совокупностью алгебраических соотношений, описывающих области, составляющие тело объекта; графами и списками, отображающими конструкции из типовых конструктивных элементов, и т.п. Геометрические ММ применяют при решении задач конструирования в машиностроении, приборостроении, радиоэлектронике, для оформления конструкторской документации, при задании исходных данных на разработку технологических процессов изготовления деталей. Используют несколько типов геометрических ММ.

Функциональные ММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Обычно функциональные ММ представляют собой системы уравнений, связывающих фазовые переменные, внутренние, внешние и выходные параметры.

По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные ММ и макромодели.

Полная модель - эта модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех имеющихся межэлементных связей (т.е. состояние всех элементов проектируемого объекта).

Макромодель - ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупненном выделении элементов.

По способу представления свойств объекта функциональные ММ делятся на аналитические и алгоритмические.

Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних параметров.

Алгоритмические ММ выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма.

Имитационная ММ - это алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект.

 

 

При построении математических моделей систем управления различают графические, аналитические и численные методы.

Графические методы применяют при описании САУ в виде структурных схем и их графовых эквивалентов. Геомерические модели устройств широко применяют при конструкторском и технологическом проектировании. Основной проблемой при автоматизацииграфическх способов построения ММ является разработка алгоритмов ввода структурных схем в ЭВМ.

Численные методы – это методы идентификации. Автоматизация построения моделей численными методами обычно состоит в реализации обработки экспериментальной информации для возможно большего числа методов идентификации. Проектировщик самостоятельно решает вопросы выбора критетиев приблежения, выбора порядка системы и окончательного выбора модели.

Аналитические методы поддаются автоматизации при наличии хорошо разработанного математического аппарата для некоторого определенного круга объектов. Исходными для них являются общие законы физики (законы сохранения энергии, массы и вытекабщие из них принципы наименьшего действия). Приложение этих принципов, применительно к физическим устройствам САУ приводит к различным выражениям

Полная математическая модель содержит много лишних элементов и использование ее целесообразно на этапе испытаний. Например, полная модель летательного аппарата будет сотого порядка с несколькими тысячами членов.

Для многих процедур анализа и синтеза применяются упрощенные модели (например, уравнения, описывающие боковое или продольное движение летательного аппарата).

Существует два подхода к упращению математических моделей:

- Редукция.

М→М1→ М2→ … →Мn

Функция сложности С(Мi)>С(Мi+1)

Исходная модель последовательно редуцируется к упрощенный моделям меньшей сложности

Сложность уменьшается за счет исключения маловлияющих членов.

- Декомпозиция

М={ М1, М2, … ,Мn}, С(Мi)<С(М)

Где С – мера сложности (порядок, число слагаемых, число операций, тредуемая память и т.д.)

Исходная модель разбивается на ряд часных моделей

В общем случае процедура получения математических моделей элементов и устройств включает в себя следующие операции:

1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Этот выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет степень универсальности ММ.

2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Источниками сведений могут быть опыт и знания инженера, разрабатывающего модель, научно-техническая литература, прежде всего справочная, описания прототипов - имеющихся ММ для элементов, близких по свойствам к исследуемому, результаты экспериментального измерения параметров и т.п.

3. Синтез структуры ММ. Структура ММ - общий вид математических соотношений модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в них параметров. Структура модели может быть представлена также в графической форме, например в виде эквивалентной схемы или графа. Синтез структуры - наиболее ответственная и с наибольшим трудом подлежащая формализации операция.

Наиболее целесообразным способом построения ММ САУ, который можно положить в основу соответствующей подсистемы САПР САУ, является сочетание численных и аналитических методов. С помощью аналитических методов строятся более полные ММ, а с помощью численных методов идентификации осуществляется количественная оценка параметров и обеспечивается адекватность модели реальному объекту.