Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.

Задача 1. Вычислить объем цилиндрического тела.

При решении поставленной задачи дадим определение цилиндрического тела и укажем способ вычисления объема цилиндрического тела.

Определение 9: цилиндрическим телом называется тело, ограниченное замкнутой областью плоскости хоу, поверхностью z=f(x,y) , где f(x,y) непрерывна и неотрицательна в , и цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси ОZ и направляющей D- границей D.

В дальнейшем, будем предполагать, что ограничена и квадрируема.

Мы будем использовать два известных свойства объема тела:

1) если тело разбить на конечное число частей, то объем тела равен сумме объемов тел его частей.

2) Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Искомый объем цилиндрического тела обозначается через V. Область произвольным способом разобьем на n квадрируемых областей ,…, без общих внутренних точек. Данное разбиение обозначаем через Т, а через (Т) обозначим наибольший из диаметров частей разбиения.

Через ,…, oбозначим площади соответствующих частей разбиения.

В каждой из частей разбиения произвольным способом выберим по точке , ,…, .

Через , 1 k n проведем цилиндрическую поверхность с образующей параллельной ОZ. Таким образом данное цилиндрическое тело будет разбито на n частичных цилиндрических тел.

Объем k-го цилиндрического тела будет приближенно равен

f( ) f( ) , а объем данного цилиндрического тела приближенно равен:

V

За объем цилиндрического тела естественно принять предел последней суммы при условии,что (Т) т.е.

V=

Задача 2: Вычислить массу неоднородной плоской пластины в плоскости хоу с плотностью (х,у). Будем предполагать что ограничена и квадрируема.

Будем пользоваться следующими известными факторами.

1) масса однородной пластинки равна где S–площадь

2) если разбить на конечное число квадратируемых частей, то масса равна сумме масс частей.

Область произвольным способом разобьем на n квадрируемых областей ,…, без общих внутренних точек.

Данное разбиение обозначим через Т, а через (Т) обозначим наибольший из диаметров частей разбиения.

Через ,…, обозначим площади соответствующих частей разбиения.

В каждой из частей разбиения произвольным способом выберем по точке , ,…, .

Будем считать, что плотность к-той части разбиения равна , тогда масса пластинки будет приближенно равна m

За массу пластинки естественно принять

К отысканию пределов подобных сумм приводят многие другие задачи. Поэтому отвлекаясь от конкретных задач рассмотрим вопрос в общем виде.