Пример 1

Множество точек на плоскости.

Лекция 1

Разложение четных и нечетных 2 периодических функций в ряд Фурье.

Теорема Дирихле.

Если 2 периодическая функция на отрезке кусочно –непрерывна, кусочно- монотонна и ограничена, то она разлагается в ряд Фурье, который в точках непрерывности сходится к значению функции, а в точках разрыва первого рода сходится к среднему арифметическому пределов слева и справа, т.е. .

1) f(x) - четная функция, тогда

, n=0,1,2,…, т.к. подынтегральная функция является четной

=0, n=1,2,… т.к. f(x)Sinnx нечетная функция.

f(x) .

2) f(x)- нечетная функция , тогда

, n=0,1,2,…,т.к f(x) Cosnx- нечетная функция.

=

f(x) .

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x,

Решение. Данная функция в промежутке ) монотонна, непрерывна и ограничена. Следовательно, по теореме Дирихле она разлагается в ряд Фурье, который в точках непрерывности сходится к f(x), а в точках разрыва первого рода сходится к среднему арифметическому пределов слева и справа. Функцию f(x) периодически продолжаем с периодом 2 . Ряд Фурье в точках x= (2k+1) , которые являются точками разрыва 1 го рода, сходится к нулю.

Так как данная функция нечетная, то , n= 0,1,2,…

= | +

dv=Sinnxdx , v = -

=

f(x)= 2 .

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)= |x|,

Решение. Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле, поэтому она разлагается в ряд Фурье.

Функцию f(x) периодически продолжаем с периодом 2 .

Ряд Фурье в точках разрыва 1 го рода х= (2к+1) сходится к . Так как функция f(x) четная, то n= 1,2,… При вычислении надо вычислить отдельно.

= | ,

dv= Cosnxdx , v =

= -1)=

f(x)= .

Тема: множество точек на плоскости. Область, ограниченная, замкнутая. Диаметр области. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла и его свойства. Теорема существования двойного интеграла.

Определение 1: окрестностью точки ( ) на плоскости называется круг, с центром в точке некоторого радиуса , который не содержит окружности, ограничивающей данный круг.

Окрестность точки радиуса r обозначаем ( ,r). ( ,r) ={ +(

}.

Так как r– произвольное, то каждая точка М на плоскости имеет бесконечно много окрестностей.

Определение 2: Множество Е точек на плоскости называется открытым, если каждая точка множества Е принадлежит Е вместе с некоторой окрестностью.

Множество { +( < }, R>0 является открытым множеством.

– есть круг с центром в точке ( ) радиуса R.

Определение 3: Точка М называется граничной точкой множества Е, если любая окрестность точки М содержит точки как принадлежащие Е , так и точки не принадлежащие Е.

Определение 4: Совокупность всех граничных точек множества Е называется границей Е, и обозначается E

Пример 2:

Границей множества в примере 1 является окружность ={ +( = } Заметим, что граница множества Е может принадлежать множеству Е, а может и не принадлежать множеству Е.

Определение 5:Множество Е называется связным, если любые 2 точки Е можно соединить непрерывной кривой, которая полностью принадлежит Е.

Множество { +( < }, R>0 является связным множеством, так как любые 2 точки можно соединить отрезком полностью принадлежащим .

Множество ={ +( < } { +( <1} не является связным, так как точки и нельзя соединить непрерывной кривой, полностью принадлежащей .

Определение 6:Открытое связное множество называется областью.

Определение 7:Множество Е называется замкнутым, если оно содержит свою границу. Замкнутое множество обозначается .

Примером замкнутой области является множество

{ +( } = т.е.

Определение 8: Область D называется ограниченной если существует круг с центром в начале координат радиуса R, 0<R< , который содержит область D.

Рассмотренные ранее множества , и являются ограниченными множествами.

Множество точек = = } не является ограниченными, так как есть множество точек прямой.

Определение 9: Диаметром области называется наибольшее расстояние между любыми двумя точками