Лекция № 3

№ 3

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Определение конечного предела функции. Определение бесконечного предела функции. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Теорема Коши о существования предела функции. Бесконечно малые величины и их свойства. Сравнение бесконечно малых величин. Предельный переход в неравенствах. Неопределенные выражения. Замечательные пределы. Таблица пределов.

1. Определение конечного предела функции

Окрестностью точки , будем называть любой интервал с центром в этой точке: , где – произвольное число. Если из окрестности точки удалить саму точку, то оставшуюся часть будем называть выколотой окрестностью точки . Если – выколотая окрестность точки , то ее можно записать в виде . Выколотую окрестность можно представить и так: .

Упражнение. Доказать равенство множеств

.

Пусть функция определена в некоторой выколотой окрестности точки .

1.1. Предел функции в точке. Приводим два равносильных определения предела функции.

Определение предела функции на языке «e–d». Будем говорить, что функция имеет в точке предел, равный , если для любого числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Если число является пределом функции в точке , то пишут: :

.

Определение предела функции на языке последовательностей. Будем говорить, что функция имеет в точке предел, равный , если для любой последовательности такой, что , и сходящейся к : , выполняется равенство . Другими словами, если последовательность сходится к , то последовательность значений сходится к :

.

1.2. Предел функции при . Будем говорить, что функция имеет при предел, равный , если для любого числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство :

.

1.3. Предел функции при . Будем говорить, что функция имеет при предел, равный , если для любого числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство :

.

2. Определение бесконечного предела функции

2.1. Бесконечно большая функция в точке. Будем говорить, что является бесконечно большой функцией при , если для любого числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Если функция является бесконечно большой при , то пишут: :

.

Например, для функции и точки , имеем (рис. 1.)

.

Если функция является бесконечно большой при и при этом принимает только положительные значения, то будем говорить, что функция при имеет бесконечный предел и будем писать .

.

Например, для функции и точки , имеем (рис. 2.)

.

Если функция является бесконечно большой при и при этом принимает только отрицательные значения, то будем говорить, что функция при имеет бесконечный предел и будем писать .

.

Например, для функции и точки , имеем (рис. 3.)

.

На рис. 4 приведен пример функции, которая не имеет предела при .

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

2.2. Бесконечный предел функции при . Будем говорить, что функция при имеет бесконечный предел , если для любого числа найдется число такое, что для всех выполняется неравенство и будем писать .

.

Будем говорить, что функция при имеет бесконечный предел , если для любого числа найдется число такое, что для всех выполняется неравенство и будем писать .

.

2.3. Бесконечный предел функции при . Будем говорить, что функция при имеет бесконечный предел , если для любого числа найдется число такое, что для всех выполняется неравенство и будем писать .

.

Будем говорить, что функция при имеет бесконечный предел , если для любого числа найдется число такое, что для всех выполняется неравенство и будем писать .

.

3. Односторонние пределы

3.1. Односторонние пределы. Для изучения функции полезно рассматривать предел функции в точке, когда переменная приближается к данной точке только с одной стороны, либо только слева, либо только справа. Такие пределы называются односторонними пределами.

3.2. Левосторонний предел. Будем говорить, что функция имеет в точке предел слева, равный , если для любого числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию и , выполняется неравенство и будем писать :

.

Вместо термина «предел слева» также используется термин «левосторонний предел».

Для обозначения левостороннего предела используется обозначение , то есть .

Условие и можно заменить одним двойным неравенством: .

Запись «» означает приближение переменной к точке только слева (рис. 5).

Рис. 5

3.3. Правосторонний предел. Будем говорить, что функция имеет в точке предел справа, равный , если для любого числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию и , выполняется неравенство и будем писать :

.

Вместо термина «предел справа» также используется термин «правосторонний предел».

Для обозначения правостороннего предела используется обозначение , то есть .

Условие и можно заменить одним двойным неравенством: .

Запись «» означает приближение переменной к точке только справа (рис. 6).

Рис. 6

Для функции , имеем

.

4. Основные теоремы о пределах функций

Ниже приводятся основные теоремы о пределах функций, позволяющие упрощать процесс вычисления пределов сложных функций.

Рассмотрим функции, зависящие от одного и того же аргумента: и . Будем предполагать существования пределов этих функций при (здесь либо число, либо , либо ):

и .

Теорема 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Теорема 2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

.

Теорема 3. Предел разности двух функций равен разности пределов этих функций:

.

Теорема 4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

.

Теорема 5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел знаменателя нулевой:

.

Теорема 6. Если функция при (– число) имеет конечный предел, то в некоторой окрестности точки функция ограничена.

Эта теорема при формулируется так: если функция при имеет конечный предел, то существует число такое, что на бесконечном промежутке функция ограничена.

5. Теорема Коши о существования предела функции

В определении предела функции участвует и само искомое значение предела. В следующей теореме утверждается существование предела функции при , (где либо произвольное число, либо , либо ) не используя значение самого предела.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме быть может, самой точки.

Теорем Коши. Для того, чтобы функция имела предел при , необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое, что для всех , удовлетворяющих условиям , , и , выполняется неравенство .

Приведенная теорема утверждает только существования предела функции при к некоторому числу . Однако, чему равно значение числа , теорема Коши отвечать не может.

6. Бесконечно малые величины и их свойства

Функция называется бесконечно малой величиной при (где либо произвольное число, либо , либо ), если ее предел при :

(– БМВ).

При доказательстве многих утверждений, связанных с предельными соотношениями, важное значение имеет следующее утверждение.

Теорема 1. Число является пределом функции при , тогда и только тогда, когда существует – бесконечно малая величина при такая, что .

Отметим некоторые свойства бесконечно малых величин.

Теорема 2. Если и являются бесконечно малыми величинами при , то их сумма является бесконечно малой величиной.

Замечание. Утверждение теоремы 2 остается верным и для любого конечного числа бесконечно малых величин.

Теорема 3. Если являются бесконечно малой величиной при , а – ограниченной функцией при , то их произведение является бесконечно малой величиной. при .

Более короткая формулировка теоремы 3: Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину, является бесконечно малой величиной.

Следствие 1. Произведение бесконечно малой величины на постоянную величину, является бесконечно малой величиной.

Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых величин является бесконечно малой величиной.

7. Сравнение бесконечно малых величин

Пусть и – бесконечно малыми величинами при . Если не обращается в нуль в некоторой окрестности точки и отношение имеет конечный и отличный от нуля предел, то и называются бесконечно малыми величинами одного порядка. Из данного определения следует, что и бесконечно малая величина не обращается в нуль в некоторой окрестности точки и отношение имеет конечный и отличный от нуля предел:

.

Если и – бесконечно малые величины одного порядка и

,

то и называются эквивалентными бесконечно малыми величинами и обозначаются при .

Если и – бесконечно малые величины при и

,

то называется бесконечно малой величиной более высокого порядка чем . Если же

,

то является бесконечно малой величиной более высокого порядка чем .

Бесконечно малая величина называется бесконечно малой величиной k-го порядка относительно бесконечно малой величины , если и является бесконечно малыми величинами одного порядка.

Теорема. Для того эквивалентности бесконечно малых величин и , необходимо и достаточно, чтобы их разность являлась бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем и чем .

Если отношение бесконечно малых величин и не имеет предела и не стремится к бесконечности, то бесконечно малые величины и не сравнимы между собой.

8. Предельный переход в неравенствах

Теорема 1. Пусть функции и определены в некоторой выколотой окрестности точки и удовлетворяют неравенству для всех . Если существуют пределы

и , (8.1)

тогда .

Замечание. Если вместо неравенства выполняется строгое неравенство , то тем не менее при существовании соотношений (8.1), утверждается нестрогое неравенство .

Теорема 2. Пусть три функции , и определены в некоторой выколотой окрестности точки и удовлетворяют неравенствам . Если крайние функции и имеют равные пределы при : и , то средняя функция имеет предел при и справедливо равенство .

9. Неопределенные выражения

В п. 4 мы изучали задачи вычисления пределов выражений

и, в предположении, что функции и стремятся к конечным пределам (из которых, в случае частного, предел при не должен был равняться нулю). В теоремах 2 – 5 приведены утверждения для вычисления пределов этих выражений. Без рассмотрения остались случаи, когда пределы функций и (один или оба) бесконечны или, если речь идет о частном, когда предел знаменателя равен нулю. Изучим эти случаи.

Рассмотрим частное и предположим, что обе функции и одновременно стремятся к нулю: и . Хотя нам известны пределы и , но о пределе их отношения , не зная самых этих функций, никакого утверждения мы сделать не можем. Подтверждением этого являются примеры:

при ;

при ;

при ;

– нет предела.

В этом случае будем говорить, что выражение представляет неопределенность вида .

Если обе функции и одновременно стремятся к бесконечности: и , то будем говорить, что выражение представляет неопределенность вида .

Рассмотрим произведение и предположим, что одна из функций стремятся к нулю, а другая – к бесконечности:

или .

Здесь, как и в случае неопределенности , можно привести соответствующие примеры. для этого достаточно вместо функции рассматривать функцию . В этом случае будем говорить, что выражение представляет неопределенность вида .

Рассмотрим сумму и разность . Предположим, что обе функции являются бесконечно большими функциями противоположных знаков, в случае суммы или бесконечно большими функциями одинаковых знаков, в случае разности.

Рассмотрим примеры:

при ;

при ;

при

для любого вещественного числа .

при ,

а не имеет предела при . В этом случае будем говорить, что выражения и представляют неопределенность вида .

Рассмотрим функцию . Предположим, что функция стремится к 1 при : , а функция – к бесконечности: . В этом случае будем говорить, что выражение представляет неопределенность вида .

10. Замечательные пределы

Два предела, которые мы сейчас рассмотрим, названы замечательными, так как они помогают раскрывать многие неопределенности.

Первый замечательный предел. Имеет место предельное соотношение

.

Второй замечательный предел. Имеет место предельное соотношение

.

11. Таблица пределов

При практическом вычисления пределов, удобно пользоваться следующей таблицей пределов.

	Левая графа	Правая графа
	.	.
	.	.
	.	.
	.	.
	.	.
	.	.
	.	.
	.	.
	.	.
	.	.