Л2. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ И ДУГ

Для измерения углов и дуг применяют две системы единиц. В одной из них единицы выражают угол или дугу в частях окружности, а во второй – в частях радиуса окружности.

В первой системе применяют следующие единицы:

– градус (º), равный 1/360 части окружности; минута (´), равная 1/60 части градуса, и секунда (´´), равная 1/60 части минуты;

– час (ч), равный 1/24 части окружности; часовая минута (мин), равная 1/60 части часа, и часовая секунда (с), равная 1/60 части минуты. Эти единицы, связанные с вращением Земли, применяют в мореходной астрономии.

Соотношения для перехода от градусов к часам и от часов к градусам следующие: 360º=24 ч; 1º=4 мин; 1´=4с; 1´´=1с/15; 1ч=15º; 1 мин = 15´; 1 с = 15´´.

Переход дуговой меры во временную и наоборот можно делать по соответствующим таблицам МТ-75 [1, табл. 39], МАЕ или в уме, применяя следующие правила.

Рис. 3. Таблица градусной меры во временной мере (МТ-75)

Правила:

1. Для перевода угла из дуговой меры во временную надо: градусы разделить на 15 – частное даст целые часы; остаток от деления градусов умножить на 4 и к полученному результату прибавить частное от деления дуговых минут (´) на 15 – сумма даст временные минуты (м); остаток от деления дуговых минут умножить на 4 – результат, который надо округлить до единицы, даст временные секунды (с). Например,

123º54,8´=(123º/15)^ч+(3ºх4)^м+(54,8/15)^м+(9,8´х4)^с=8^ч14^м39^с.

2. Для перевода угла из временной меры в дуговую надо: часы умножить на 15 и прибавить частное от деления временных минут на четыре – результат даст дуговые градусы (º); остаток от деления временных минут умножить на 15 и прибавить частное от деления временных секунд на 4, взятое с точностью до десятых долей; - результат даст дуговые минуты (´) с десятыми долями. Например,

7^ч39^м43^с =(7^чх15)º+(39/4)º+(3 ^мх15)º+(43^с/4)=114º55,8´.

Во второй системе измерения углов и дуг за единицу измерения принимают угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу. Этот угол называется радианом. Он равен 57º17´44,80625≈57º,3. Т.е. радиан численно равен отношению 360º/2π. Это следует из соотношения 360º=2π*R/R = 2π≈6,283185… В минутах 1 рад = 3437´,7≈3438´.

Следовательно, для перевода углов из градусной меры в радианную можно использовать формулы:

α рад ≈ αº/57º,3 ≈ α´/3438´≈ α´´/206265´´ или

α рад ≈ αº*1/57º,3 = αº arc 1º ≈ α´*1/3438´ = α´ arc 1´ ≈ α´´*1/206265´´= α´´ arc 1´´.

В последнем случае arc 1º, arc 1´, arc 1´´ обозначают дуги 1º, 1´, 1´´, выраженные в радианной мере.

Для обратного перехода служат формулы:

αº = α рад/ arc 1º; α´ = α рад/ arc 1´; α´´ = α рад/ arc 1´´.

При выводе формул в навигации и мореходной астрономии используются свойства некоторых тригонометрических функций малых углов. Эти свойства позволяют значения таких тригонометрических функций заменять значениями малых углов:

sin α ≈ αº arc 1º; cos α ≈1; tg α ≈ αº arc 1º.

Безусловно, такая замена вызывает погрешности, которые будут тем больше, чем больше угол. Если принять допустимой погрешностью 0,1º, то первая формула пригодна для углов до 12,5º, (2) – до 3,4º, (3) – до 9,9º. Для углов меньше указанных в 2 раза погрешность не превысит 1´.

Методические рекомендации по практическим занятиям

Методические рекомендации по самостоятельной работе студентов