Расчет прочности нормальных сечений прямоугольного профиля с двойным армированием (без предварительного напряжения).
Предпосылки расчета прочности нормальных сечений по предельным усилиям . Расчетная схема усилий в нормальном сечении любого симметричного профиля на действие изгибающего момента.
Состояний
Тема: Расчет изгибаемых элементов по I-й группе предельных
Лекция № 9
Вопросы: 1. Предпосылки расчета прочности нормальных сечений по
предельным усилиям.
2. Расчет прочности нормальных сечений прямоугольного
профиля с одиночным армированием на действие
изгибающего момента.
3. То же, с двойным армированием.
4. То же, таврового профиля
Действующие нормы по проектированию железобетонных конструкций допускают применение метода расчета по предельным усилиям для конструкций массового применения. Данный метод является общим для преднапряженных и ненапряженных ж/б элементов и охватывает как случаи изгиба, так и сжатия и растяжения во всем диапазоне эксцентриситетов приложения продольной силы.
Предельные усилия в сечении, нормальном к продольной оси элемента, определяют исходя из следующих предпосылок:
- рассматривается стадия III НДС, т.е. стадия разрушения;
- сопротивление бетона растяжению принимают равным нулю;
- сопротивление бетона сжатию представляется напряжениями, равными Rb и равномерно распределенными по сжатой зоне бетона;
- деформации (напряжения) в арматуре определяют в зависимости от высоты сжатой зоны бетона;
- растягивающие напряжения в арматуре принимают не более расчетного сопротивления растяжению Rs;
- сжимающие напряжения в ненапрягаемой арматуре принимают не более расчетного сопротивления сжатию Rsс;
- напряжения в преднапряженной арматуре, расположенной в сжатой зоне, принимаются равными
(9.1)
где 
- предельная сжимаемость бетона при осевом сжатии, равная 2×10-5 при непродолжительном действии нагрузки и 2,5×10-5 – при продолжительном (т.е. при использовании коэффициента gb2). В зависимости от величины преднапряжения этой арматуры ее влияние на работу сечения в предельном состоянии будет различным:
1) если к моменту разрушения сечения предварительные растягивающие напряжения 
будут не погашены (>
), то арматура 
будет дополнительно сжимать бетон сжатой зоны - неблагоприятное влияние;
2) если к моменту разрушения сечения предварительные растягивающие напряжения будут погашены и по величине <, то арматура будет помогать сжатому бетону – положительное влияние;
3) если к моменту разрушения сечения предварительные растягивающие напряжения будут погашены и по величине =, то арматура не будет оказывать никакого влияния на прочность сечения.
Расчетная схема предельных усилий в нормальном сечении элемента любой симметричной относительно плоскости изгиба формы, соответствующая изложенным выше предпосылкам, приведена на рис. 55.
Рис. 55. Схема усилий в нормальном сечении элемента любой симметричной формы:
1 – нормальные трещины; 2 – расчетное нормальное сечение; 3 – сжатая зона сечения;
4 – то же, растянутая; 5 – плоскость изгиба
Расчет по прочности нормальных сечений изгибаемых элементов сводится к решению двух типов задач:
1-й тип – проверка прочности запроектированного (заданного) сечения: по заданным прочностным и деформативным характеристикам материалов, размерам бетонного сечения и площади арматуры определяют минимально возможную (предельную) несущую способность сечения элемента. Несущая способность достаточна, если удовлетворяется неравенство типа
M £ Mu , (9.2)
где M – расчетный (максимально возможный) изгибающий момент в сечении по результатам статического расчета конструкции;
Mu – предельная (минимально возможная) несущая способность сечения при изгибе.
2-й тип – подбор сечений; состоит в том , что из равенства типа
M = Mu (9.3)
определяют размеры бетонного сечения и площадь арматуры; при этом задаются прочностными и деформативными характеристиками материалов и некоторыми из искомых величин (например, размерами бетонного сечения b´h, Rb и Rs).
Рекомендуется проектировать изгибаемые элементы так, чтобы удовлетворялось условие
, (9.4)
т.е. по 1-му случаю разрушения.
Значение граничной относительной высоты сжатой зоны ξR, при котором предельное состояние элемента наступает одновременно с достижением в растянутой арматуре напряжения, равного расчетному сопротивлению Rs (Rsp), определяют по формуле
, (9.5)
где εs,el - относительная деформация растянутой арматуры при напряжениях, равных Rs, определяемая по формулам:
- для арматуры с физическим пределом текучести 
; (9.6)
- для арматуры с условным пределом текучести 
, (9.7) где σsp - предварительное напряжение в арматуре с учетом всех потерь и коэффициентом точности натяжения γsp = 0,9; 400 - в МПа;
- относительная деформация сжатого бетона при напряжениях, равных Rb, принимаемая равной 0,0035.
Замечание. В нормах принято единое обозначение расчетного сопротивления растяжению 
как для напрягаемой арматуры 
, так и для ненапрягаемой 
; в дальнейшем в тексте тоже будет принято единое обозначение.
В общем случае (рис. 55) в сечении изгибаемого элемента имеется:
- в растянутой зоне – ненапрягаемая арматура с расчетным сопротивлением и напрягаемая арматура со своим расчетным сопротивлением 
(в дальнейшем – тоже обозначается );
- в сжатой зоне – ненапрягаемая 
с расчетным сопротивлением сжатию 
и напрягаемая 
с расчетным напряжением 
.
Для общего случая предельные усилия в сжатой и растянутой зонах сечения будут равны (см. рис. 55):
в сжатой зоне - 
(9.8)
в растянутой - 
. (9.9)
В выражении (9.9) коэффициент 
³ 1 учитывает то обстоятельство, что к моменту разрушения сжатого бетона фактические напряжения в арматуре с условным пределом текучести могут превышать значение условного предела текучести.
Для решения указанных выше задач при принятых предпосылках достаточно только двух уравнений равновесия статики: 
и 
.
Сумму моментов всех сил обычно принимают относительно оси, проходящей через центр тяжести всей растянутой арматуры А
; (9.10)
тогда условие прочности (9.2) можно записать в виде
, (9.11)
в котором правая часть неравенства есть Mu, т.е. предельная (минимально возможная) несущая способность сечения; здесь 
- статический момент площади сжатой зоны сечения относительно вышеупомянутой оси.
Высоту сжатой зоны x, входящую в условие (9.11), находят из другого уравнения равновесия – в виде суммы проекций всех сил на продольную ось элемента :
, (9.12)
или для сечений, разрушающихся по случаю 1 (
):
. (9.13)
Если в сечении отсутствуют отдельные виды растянутой и/или сжатой арматуры, то в выражениях (9.10)-(9.13) выпадают и соответствующие слагаемые.
Для случая 2-го, отвечающего условию 
(
), когда разрушение происходит по сжатому бетону хрупко, а напряжения в растянутой арматуре не достигают расчетных сопротивлений , высоту сжатой зоны x также определяют из (9.13), заменяя в нем на текущее напряжение 
. Допускается при определять предельный момент Mu , принимая в выражении (9.13) 
.
2. Расчет прочности нормальных сечений прямоугольного профиля с одиночным армированием (без предварительного напряжения).Если в сжатой зоне арматура отсутствует или не учитывается в расчете (конструктивная арматура), то это будет сечение с одиночным армированием, т.е. арматура имеется только в растянутой зоне. Расчетная схема такого сечения получается из схемы общего случая (см. рис. 55) при исключении из нее соответствующих усилий и приведена на рис. 56.
Рис. 56. Расчетная схема для сечения прямоугольного профиля с одиночным армированием
Обозначения на схеме рис. 56:
M – расчетный изгибающий момент от внешних нагрузок (из статического расчета);
b – ширина сечения; как правило, задаются перед расчетом;
h – высота поперечного сечения; предварительно задаются, затем уточняют;
h0 = h – a - рабочая (полезная) высота сечения; здесь a = ab + d/2 – расстояние от центра тяжести всей растянутой арматуры до крайнего волокна растянутой грани сечения; ab – толщина защитного слоя бетона; d – диаметр рабочей продольной арматуры;
x – высота сжатой зоны бетона;
Nb =Rbbx – равнодействующая сжимающих напряжений в бетоне; Rb – расчетное сопротивление бетона сжатию;
Ns = RsAs – равнодействующая растягивающих напряжений в растянутой арматуре; Rs – расчетное сопротивление арматуры растяжению, As – площадь сечения рабочей растянутой арматуры;
zb = h0 – 0,5x - плечо внутренней пары сил.
Для рассматриваемой расчетной схемы можно составить два уравнения равновесия:
1. 
тогда условие прочности (9.2) можно записать следующим образом:
по сжатому бетону: 
(9.14)
по растянутой арматуре: 
. (9.15)
2. : 
или 
(9.16)
Высоту сжатой зоны бетона найдем из (9.16) 
(9.17)
а относительная высота сжатой зоны
(9.18)
или 
(9.19)
где 
- коэффициент армирования сечения.
Для того, чтобы разрушение элемента происходило по случаю 1, т.е. начиналось с растянутой арматуры, должно соблюдаться условие
Из (9.19), принимая 
можно найти то наибольшее содержание арматуры As, при котором сечение еще может разрушаться по случаю 1, т.е. пластично
(9.20)
По формулам (9.14) – (9.18) можно непосредственно выполнить проверку прочности заданного сечения (решить задачу 1-го типа), т.е проверку условия прочности (9.2). Если из (9.16) окажется 
, то допускается проверку производить также по (9.14), принимая 
.
Расчетные формулы для подбора требуемой площади сечения растянутой арматуры получают преобразованием выражений (9.14) или (9.15). Подставляя в (9.14) 
, получим
, (9.21)
откуда
(9.22)
или 
(9.23)
здесь 
- относительный момент усилия Nb сжатого бетона;
; (9.24)
. (9.25)
Тогда требуемая площадь растянутой арматуры из (9.16) или (9.18)
. (9.26)
Аналогично преобразуя уравнение (9.15), получим
, (9.27)
(9.28)
Тогда из (9.26)
. (9.29)
Полученные формулы справедливы при
. (9.30)
Максимальный момент, который может воспринять сжатый бетон в сечении с одиночной арматурой из (9.23)
(9.31)
Величины 
взаимосвязаны и могут быть представлены в виде таблицы. Тогда зная одну из них, по табл. определяется любая другая.
Сечениями с двойным армированием называют такие, в которых кроме растянутой арматуры ставят по расчету и сжатую. Необходимость в сжатой арматуре возникает, когда в сечении с одиночным армированием расчетный момент не может быть воспринят лишь бетоном сжатой зоны, т.е. имеет место неравенство
,
или, что то же ,
и возможно разрушение по случаю 2 (хрупкое, по сжатому бетону).
Тогда в помощь сжатому бетону ставят сжатую арматуру. Вообще сечения с двойным армированием неэкономичны по расходу арматуры, поэтому сжатую арматуру ставят по расчету только в следующих случаях:
- при ограниченных размерах поперечного сечения;
- невозможности повышения класса бетона;
- при действии знакопеременных моментов
или других специальных требованиях.
Как отмечалось в лекции №7, сжатая арматура, деформируясь совместно с бетоном, может максимально получить напряжения не более 400…500 МПа, поэтому нецелесообразно применять в качестве сжатой арматуру классов выше А500.
Формулы для расчета нормальных сечений с двойной арматурой получим при предпосылках общего случая и из тех же условий, что и для элементов с одиночной арматурой.
Рис. 57. Расчетная схема для сечения прямоугольного профиля с двойным армированием
В соответствии с расчетной схемой (рис. 57) условие прочности из уравнения равновесия 
имеет вид
,
или в развернутом виде
(9.32)
или 
(9.33)
где 
- момент, воспринимаемый сжатой зоной бетона и соответствующей (по усилию) частью растянутой арматуры;
- момент, воспринимаемый сжатой арматурой 
и оставшейся частью растянутой арматуры.
Из уравнения равновесия имеем
, (9.34)
откуда 
. (9.35)
Сечение с двойной арматурой будет наиболее экономичным при максимальном использовании бетона сжатой зоны, т.е. при , или, что то же, при 
. Тогда на сжатую арматуру передается лишь остаток расчетного момента, не воспринимаемый сжатым бетоном
,
или из (9.33) при 
=
, (9.36)
откуда требуемая площадь сечения сжатой арматуры (в помощь бетону)
, (9.37)
а площадь растянутой арматуры из (9.34) при 
. (9.38)
Проверку прочности заданного сечения с двойной арматурой можно выполнить непосредственно по формулам (9.32) и (9.35), которые справедливы при 
. Когда 
, сжатая арматура окажется вблизи нейтральной оси и напряжения в ней будут меньше . В этом случае, а также при симметричном армировании (
) прочность сечения может быть определена без учета бетона сжатой зоны:
(9.39)