Уравнение Навье-Стокса в безразмерном виде. Числа и критерии подобия.

Рассмотрим в качестве примера уравнение Навье-Стокса в проекции на ось (29):

(32)

Введём относительные, безразмерные величины следующим образом

, где - характерная скорость ;

, где - характерный размер, например, диаметр;

, где - характерная массовая сила,

например, , Н/кг (33)

, где - характерное давление, например, атмосферное,

, где - характерное время, например, период колебаний.

Заметим, что справедливы соотношения типа :

(34)

Перейдём в уравнении (32) к относительным величинам:

(35)

Все члены этого уравнения имеют одну и ту же размерность, в данном случае, м/с² (Н/кг) . Каждый член этого уравнения представляет собой произведение двух комплексов величин:

- относительных, безразмерных величин:

(36)

- размерных коэффициентов; в данном случае размерность коэффициентов м/с² (Н/кг):

(37)

Очень важно отметить, что размерность каждого коэффициента одна и та же. Следовательно, если мы поделим всё уравнение на один из этих коэффициентов, то получим уравнение в безразмерном виде. Разделим уравнение на коэффициент :

(38)

Введём общепринятые обозначения:

(39)

Мы получили очень важную форму уравнения Навье-Стокса - уравнение в безразмерном виде, коэффициентами которого являются степенные безразмерные комплексы физических величин, определяющих все закономерности движения жидкости и газа. Коэффициенты уравнения (по-другому, числа и критерии подобия), названы в честь имени учёных, внёсших своими работами основной вклад в изучение процессов, связанных с данным безразмерным комплексом.

Число Струхала ( или )– безразмерный параметр, равный отношению характерного времени движения частиц к характерному времени нестационарного процесса.

(40)

Число Струхала - один из критериев подобия нестационарных течений жидкостей и газов, характеризующий постоянство протекания процессов во времени. Винсенс Струхаль (1850-1992), чешский физик и гидродинамик. Один из основателей физического факультета и ректор в Карловом университете в Праге. Исследовал в 1878 году колебания струн, процесс возникновение звука, измерял частоту колебаний проводов линий электропередач при различных скоростях ветра. Обнаружил, что причиной возникновения звука при колебании струны являются периодический отрыв воздуха и связанное с ним вихреобразование. Он первым предложил использовать число Струхала для анализа экспериментальных данных нестационарных процессов. Именем Струхала назван один из крупных астероидов (за номером 7391).

Число Фруда - безразмерный параметр, который характеризует соотношение между инерционной силой и силой тяжести:

(41)

Число Фруда применяют при моделировании движения кораблей, течений воды в открытых руслах, испытаниях моделей гидротехнических сооружений. Введено У. Фрудом в 1870.

Уильям Фруд (1810 —1879) — английский инженер, основоположник корабельной гидродинамики. Получил образование в Оксфорде. Разработал теорию, позволяющую рассчитать сопротивление воды движению судна по результатам испытаний модели. Является создателем первого в мире опытового бассейна.

Первый в России (шестой в мире) опытовый бассейн был введён в эксплуатацию в полном объёме в 1894 г на острове Новая Голландия в Санкт-Петербурге. Здесь испытывались модели первого в мире ледокола «Ермак», модели практически всех наших подводных лодок и боевых кораблей. На базе опытового бассейна был создан институт военного кораблестроения, ЦНИИ им. акад. А.Н.Крылова.

В настоящее время опытовый бассейн на острове Новая Голландия, реликвия отечественного кораблестроения, ликвидирован.

Опытовые бассейны могут иметь длину свыше 200 м.

Первый в России опытовый бассейн на острове Новая Голландия.в Финском заливе (1894-2004)

Число Эйлера - безразмерный параметр, характеризующий соотношение сил давления на единичный объём жидкости и инерционными силами:

(42)

Число Рейнольдса - безразмерный параметр, характеризующий соотношение инерционных и вязкостных сил: (43)