Определение и свойства многочленов Чебышева

МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА И НАИЛУЧШИЕ РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

2 18

Глава 2

Дается определение многочленов Чебышева первого рода и изучаются их свойства. Показывается, что погрешность интерполирования гладкой функции многочленом фиксированной степени будет наименьшей, когда в качестве узлов интерполяции используются корни многочленов Чебышева. Приводится (без доказательства) теорема о чебышевском альтернате, служащая теоретической основой построения наилучших равномерных приближений, и рассматриваются простейшие ситуации, когда такие многочлены могут быть построены. Обсуждается идея использования разложения функций в степенные ряды для получения многочленов, близких к многочленам наилучших равномерных приближений.

Определение2.1. Многочленом Чебышева^ называется функция

Т„ (х) := cos(n arccos x), (2.1)

где neN₀, xe [-1,1].

Прежде всего убедимся, что функция Т_п(х), представленная с помощью тригонометрических функций, на самом деле является многочленом при любом η = О,1, 2,

Непосредственной подстановкой в (2.1) значений η-0 и η -1 получаем Tq(χ) = 1, Τ (χ) = χ.

* ^; Чебышёв Пафнутий Львович (1821—1894) — знаменитый русский

математик. Его работы о многочленах наилучшего равномерного приближения легли в основу конструктивной теории функций. Стандартное обозначение Т„(х) можно соотнести с немецким написанием фамилии Tschebyschew.