Аксиомы теории полезности.

Критерий превосходства. Методы количественного оценивания систем: методы теории полезности, методы векторной оптимизации, методы ситуационного управления. Особенности применения указанных подходов в системном анализе.

Морфологические методы. Разновидности метода Цвикки: метод систематического покрытия поля (МСПП), метод отрицания и конструирования (МОК), метод морфологического ящика (ММЯ).

Основная идея морфологических методов систематически находить все мыслимые варианты решения проблемы или реализации системы путем комбинирования выделенных элементов или их признаков. Суть метода состоит в том, что в системе выделяют несколько характерных (структурных или функциональных признаков). Каждый из них может характеризовать какой – то параметр или характеристику системы, от которых зависит решение проблемы. По каждому выделенному признаку составляют список его различных вариантов-альтернатив. Признаки с альтернативами располагают в таблицу - «морфологический ящик». Перебирая всевозможные сочетания этих альтернатив, можно выявить новые варианты решения. В систематизированном виде морфологический подход разработан и применен впервые швейцарским астрономом (работал в США) в середине XX века Фрицем Цвикки и долгое время был известен как метод Цвикки.

Цвикки предложил три метода морфологического исследования:

1. Метод систематического покрытия поля (МСПП), основанный на выделении так называемых опорных пунктов знания в любой исследуемой области и использовании для заполнения поля некоторых сформулированных принципов мышления.

2. Метод отрицания и конструирования (МОК), заключающийся в том, что на пути конструктивного прогресса стоят догмы и компромиссные ограничения, которые есть смысл отрицать, и следовательно, сформулировав некоторые предложения, полезно заменить их затем на противоположные и использовать при проведении анализа.

3. Метод морфологического ящика (ММЯ), нашедший наиболее широкое распространение. Идея ММЯ состоит в том, чтобы определить все мыслимые параметры, от которых может зависеть решение проблемы, представить их в виде матриц-строк, а затем определить в этом морфологическом матрице-ящике все возможные сочетания параметров по одному из каждой строки. Полученные таким образом варианты могут снова подвергаться оценке и анализу в целях выбора наилучшего. Морфологический ящик может быть не только двумерным.

 

Первоначально задача количественного оценивания систем формулировалась в терминах критерия превосходства в форме:

(показатели качества – у)

Однако поскольку большинство частных показателей качества связаны между собой так, что повышение качества системы по одному показателю ведет к понижению качества по другому, такая постановка была признана некорректной для большинства практически важных приложений.

Таким образом, наличие неоднородных связей между отдельными показателями сложных систем приводит к проблеме корректности критерия превосходства к необходимости идти на компромисс и выбирать для каждой характеристики не оптимальное значение, а меньшее, но такое, при котором и другие показатели тоже будут иметь приемлемые значения.

Для решения проблемы корректности критерия превосходства были разработаны методы количественной оценки систем:

• методы теории полезности;

• методы векторной оптимизации;

• методы ситуационного управления, инженерии знаний.

Методы теории полезности основаны на аксиоматическом использовании отношения предпочтения множества векторных оценок систем.

Методы векторной оптимизации базируются на использовании понятия векторного критерия качества систем (многокритериальные задачи).

Методы ситуационного управления, инженерии знаний основаны на построении семиотических моделей (знаковые системы) оценки систем. В таких моделях система предпочтений ЛПР формализуется в виде набора логических правил, по которым может быть осуществлен выбор альтернатив. Рассмотрение указанных подходов в системном анализе основано на трех важных особенностях.

Во-первых, считается, что не существует системы, наилучшей в независящем от ЛПР смысле. Всегда система может быть наилучшей лишь для данного ЛПР. Другое ЛПР в данных условиях может предпочесть альтернативную систему.

Во-вторых, считается, что не существует оптимальной системы для всех целей и воздействий внешней среды. Система может быть эффективной только для конкретной цели и в конкретных условиях. В других условиях и для других целей система может быть неэффективной. Например, конверсия танков в интересах сельского хозяйства показала, что эта техника по сравнению с тракторами неэффективна по показателям ресурсоемкости.

В-третьих, методы исследования операций (линейное, нелинейное, динамическое программирование и др.) не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к задачам оценивания сложных организационных систем, поскольку вид целевой функции или неизвестен, или не задан аналитически, или для нее отсутствуют средства решения.

Общность подходов состоит в том, что оценивание систем по критериям производится с помощью шкал.

При аксиоматическом подходе к оценке систем на основе теории полезности используется метод свертывания аксиоматизации предпочтений ЛПР.

В теории полезности исходят из того, что критерий эффективности предназначен для выявления порядка предпочтений на альтернативах (исходах операции), что позволяет обеспечить обоснованный выбор решения.

Было бы очень удобно иметь для оценки исходов какую-то единую меру что-то вроде денег. Однако деньги тоже не выступают универсальной мерой ценности. С помощью их не все можно оценивать (репутацию, настроение и т.д.). Кроме того, они обеспечивают измерение по равномерной шкале (100 руб. в пять раз ценнее, чем 20 руб.). Вместе с тем известно, что иногда ценность денежной суммы возрастает непропорционально ее величине. Поскольку в нашей практике нет универсальной меры, обладающей физическим смыслом и позволяющей соизмерить исходы операций по неравномерной шкале, а потребность в ней существует, то остается одно ввести какую-то искусственную меру. Такая мера определяется через полезность альтернатив (исходов). Большинство людей используют сравнительно простой подход к оценке альтернатив упорядочение их по возрастанию полезности от наименее полезных до наиболее полезных. Свое

отношение к альтернативам люди могут выразить и количественно, приписав каждому исходу некоторое число, определяющее его относительную предпочтительность. Например, наименее полезный исход может быть отражен числом 1, следующий числом 2 и т.д., до наиболее полезного исхода.

Таким образом, полезность исхода операции это действительное число, приписываемое исходу операции и характеризующее его предпочтительность по сравнению с другими альтернативами относительно цели.

Зная возможные альтернативы с их показателями полезности, можно построить функцию полезности, которая дает основу для сравнения и выбора решений. Функция полезности представляет собой числовую ограниченную функцию F(a), определенную на множестве альтернатив так, что , когда альтернативы аi и аj неразличимы (аi ~ аj), т.е. нельзя отдать предпочтение ни тому, ни другому исходу, и F(ai) > F(aj), когда альтернатива аi, предпочтительнее альтернативы

aj, .

В теории полезности доказывается, что при вполне естественных допущениях относительно предпочтений ЛПР такая функция существует.

Предпочтения ЛПР формулируются в виде аксиом. Поскольку системы предпочтений у разных ЛПР могут различаться, то разные аксиоматики приводят к различным видам свертки и, следовательно, функция полезности не единственна. Причина заключается в том, что отсутствуют определения нулевой полезности, единицы полезности и шкалы полезности (можно произвольно выбирать нуль, единицу и шкалы измерения полезности альтернатив).

Рассмотрим основные аксиомы теории полезности.

Аксиома 1. Измеримость.

Аксиома 2. Сравнимость.

Аксиома 3. Транзитивность.

Аксиома 4. Коммутативность.

Аксиома 5. Независимость.