Метод Монте-Карло.
Метод 26
Метод Гаусса.
Метод 24
Метод Симпсона.
Метод 23
Подинтегральное выражение апроксимируется квадратичной зависимостью вида
Для применения метода Симпсона отрезок интегрирования разбиваем на четное число 2n частных отрезков с одинаковым шагом , а в качестве аппроксимирующей функции берём полином Лагранжа, проходящий через три точки: , , .
Можно показать, что интеграл от соответствующего полинома Лагранжа
a |
b |
x0 |
x1 |
x2 |
x2n |
Таким образом
Погрешность метода Симпсона пропорциональна 0( )-и имеет порядок .
В предыдущих методах при численном интегрировании подинтегральную функцию вычисляют в равноотстоящих друг от друга узлах. В методе Гаусса для повышения точности численного интегрирования значения подинтегральной функции вычисляют в специально подобранных узлах.
Рассмотрим сначала стандартный отрезок и зададим число m= числу узлов, в которых вычисляется подинтегральная функция. Координаты этих узлов обозначим
и получим для определённого интеграла приближенное выражение
(1.1)
Узлы подбирают таким образом, чтобы обеспечить максимальную точность выражения (1.1).
Она будет максимальной в том случае, если узлы будут соответствовать корням полиномов Лагранжа.
Метод Гаусса представляет собой группу методов различающихся числом узлов. Значения параметров , для m=2;3 запишем в таблицу.
m | j | №метода | ||
0,7745967 | ||||
0,7745967 |
С помощью формулы Гаусса (1.1) с m-узлами на стандартном отрезке можно получить формулу для вычисления интеграла на произвольном отрезке .
Для этого разбиваем отрезок на n равных частичных отрезков. На каждом отрезке
Задаём m узлов с помощью формулы
i – это номер частичного отрезка;
j – это номер узла в каждом частичном отрезке.
Для
Метод 24 даёт точные значения интеграла для полиномов степени , при m=2 метод Симпсона и метод Гаусса имеют приблизительно одинаковую точность. Однако метод Симпсона более удобен, так как для него узлы расположены равномерно, поэтому метод Гаусса целесообразно использовать при m>2.
Во многих задачах исходные данные носят случайный характер. Для решения таких задач применяется статистико-вероятностный подход. На основе такого подхода разработан метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло. В методе Монте-Карло для случайной величины X с определённым законом распределения находится математическое ожидание, причем в качестве приблизительного значения математического ожидания можно использовать среднее значение из серии испытаний случайной величины X.
Это соотношение можно использовать для приближенного вычисления интеграла. Пусть Т – это случайная величина равномерно распределённая на отрезке . Равномерность распределения означает, что плотность распределения этой случайной величины во всех точках отрезка имеет одинаковое значение равное единице. То есть плотность распределения для этой случайной величины равна
В компьютерах встроены генераторы случайных чисел, имеющие нормальное распределение. Для вычисления по определению математического ожидания используется следующая формула
где, - это случайные числа равномерно распределённые на .
Тогда
При вычислении интеграла на путем замены интеграл приводится к отрезку если отрезок разбить на n частей, и каждый отрезок преобразовать в единичный, то для интеграла по
где - это случайное число на .