Метод Монте-Карло.

Метод 26

Метод Гаусса.

Метод 24

Метод Симпсона.

Метод 23

Подинтегральное выражение апроксимируется квадратичной зависимостью вида

Для применения метода Симпсона отрезок интегрирования разбиваем на четное число 2n частных отрезков с одинаковым шагом , а в качестве аппроксимирующей функции берём полином Лагранжа, проходящий через три точки: , , .

Можно показать, что интеграл от соответствующего полинома Лагранжа

 

 

a
b
x0
x1
x2
x2n

 

Таким образом

Погрешность метода Симпсона пропорциональна 0( )-и имеет порядок .

В предыдущих методах при численном интегрировании подинтегральную функцию вычисляют в равноотстоящих друг от друга узлах. В методе Гаусса для повышения точности численного интегрирования значения подинтегральной функции вычисляют в специально подобранных узлах.

Рассмотрим сначала стандартный отрезок и зададим число m= числу узлов, в которых вычисляется подинтегральная функция. Координаты этих узлов обозначим

 

и получим для определённого интеграла приближенное выражение

 

(1.1)

Узлы подбирают таким образом, чтобы обеспечить максимальную точность выражения (1.1).

Она будет максимальной в том случае, если узлы будут соответствовать корням полиномов Лагранжа.

Метод Гаусса представляет собой группу методов различающихся числом узлов. Значения параметров , для m=2;3 запишем в таблицу.

 

m j     №метода
 
 
0,7745967  
 
0,7745967  

 

С помощью формулы Гаусса (1.1) с m-узлами на стандартном отрезке можно получить формулу для вычисления интеграла на произвольном отрезке .

Для этого разбиваем отрезок на n равных частичных отрезков. На каждом отрезке

Задаём m узлов с помощью формулы

 

i – это номер частичного отрезка;

j – это номер узла в каждом частичном отрезке.

Для

 

Метод 24 даёт точные значения интеграла для полиномов степени , при m=2 метод Симпсона и метод Гаусса имеют приблизительно одинаковую точность. Однако метод Симпсона более удобен, так как для него узлы расположены равномерно, поэтому метод Гаусса целесообразно использовать при m>2.

 

Во многих задачах исходные данные носят случайный характер. Для решения таких задач применяется статистико-вероятностный подход. На основе такого подхода разработан метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло. В методе Монте-Карло для случайной величины X с определённым законом распределения находится математическое ожидание, причем в качестве приблизительного значения математического ожидания можно использовать среднее значение из серии испытаний случайной величины X.

 

Это соотношение можно использовать для приближенного вычисления интеграла. Пусть Т – это случайная величина равномерно распределённая на отрезке . Равномерность распределения означает, что плотность распределения этой случайной величины во всех точках отрезка имеет одинаковое значение равное единице. То есть плотность распределения для этой случайной величины равна

 

 

 

 

В компьютерах встроены генераторы случайных чисел, имеющие нормальное распределение. Для вычисления по определению математического ожидания используется следующая формула

 

 

где, - это случайные числа равномерно распределённые на .

Тогда

При вычислении интеграла на путем замены интеграл приводится к отрезку если отрезок разбить на n частей, и каждый отрезок преобразовать в единичный, то для интеграла по

где - это случайное число на .