Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.
Для того чтобы найти вероятность появления события ровно раз в серии опытов, достаточно произвести перемножение сомножителей в производящей функции. Коэффициент при члене и даст искомую вероятность .
Мы предполагали, что вероятность наступления события в каждом из опытов постоянна. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производятся в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется. Например, производится серия выстрелов при изменяющейся дальности.
Случай непостоянной вероятности появления события в опытах
Способ вычисления вероятности заданного числа появлений событий в таких условиях дает общая теорема о повторении опытов.
Пусть проводится независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие , причем вероятность появления этого события в -м опыте равна , а вероятность его не появления соответственно . Требуется найти вероятность того, что в результате опытов событие появится ровно раз.
Решение данной задачи проводится с помощью так называемой производящей функции, имеющей вид:
.
Пример. Производится 4 независимых выстрела по одной и той же цели с различных расстояний. Вероятности попадания при этих выстрелах равны соответственно
.
Найти вероятность трех попаданий.
Решение: Составим производящую функцию
Отсюда вероятность трех попаданий равна 0,040. Легко найти и вероятности ни одного, одного, двух и четырех попаданий, выписывая коэффициенты при и .
Число наступлений события называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления любое другое количество раз.