Элементарные свойства сферической поверхности Земли
В первом приближении за фигуру Земли принимается шар с радиусом R=6400 км. В пределах территории 200´200 км с достаточной степенью приближения под фигурой Земли можно понимать шар с радиусом, равным среднему радиусу кривизны эллипсоида в центральной точке этой зоны.
Для решения ряда практических задач необходимо знать, в каких пределах расстояния, измеренные на сфере, можно заменить плоскими расстояниями, сферические углы в многоугольниках - плоскими углами и как влияет кривизна Земли на измеряемые превышения между точками (вертикальные расстояния).
Рисунок 2 сферическое и плоское расстояние, понижение горизонта
При определении предела сферического расстояния S, рассматриваемого как плоское d (Рисунок 2), ставится условие, чтобы относительная разность S и d отвечала неравенству
. (1)
Такое условие ставится потому, что самые точные линейные измерения на местности выполняются именно с такой точностью.
На рисунке 2: S=AB – сферическое расстояние; d=AB¢ - плоское расстояние; R – радиус Земли, равный 6400 км; ar – центральный угол a, выраженный в радианной мере.
Из рисунка следует, что
;
;
. (2)
Выразив в виде бесконечного ряда, получим
.
После подстановки этого выражения в (2) имеем
, (3)
а так как , то
и
. (4)
Учитывая поставленное условие (1), из решения неравенства находим, что
или
. (5)
Подставив в последнее выражение значение среднего радиуса Земли R@6400 км, находим, что S£10,9 км. А распространяя аналогичные рассуждения и по другую сторону от точки A (см. Рисунок 2), приходим к выводу, что в пределах 22 км расстояния, измеряемые на сфере, практически равноценны плоским расстояниям.
Затем отметим, что в многоугольнике, построенном на сфере, сумма внутренних углов всегда больше суммы внутренних углов соответствующего плоского многоугольника на величину сферического избытка e. Для фигур земной поверхности с площадью P до нескольких сот квадратных километров сферический избыток e² можно вычислить по приближенной формуле
, (6)
где - значение радиана в секундах дуги;
.
Например, для равностороннего прямоугольного треугольника со стороной S=20 км и P@200 км2 сферический избыток . Поэтому при решении инженерно-геодезических задач на таких площадях можно считать, что сферические углы равны плоским углам.
Влияние кривизны Земли на измеряемые вертикальные расстояния (превышения) определяются величиной p понижения горизонта (Рисунок 2). Наблюдателю, расположенному в точке А, будет казаться, что точка В находится ниже горизонта на величину ВВ¢=p. При условии, что d<<R, величину p вычисляют приближенно.
Из прямоугольного треугольника ОАВ¢ следует, что
;
или ;
и
.
А так как в рассматриваемом случае p<<R, то
. (7)
Для d=10 км p»8 м и пренебрегать влиянием кривизны Земли на измеряемые превышения нельзя.
При решении инженерно-геодезических задач поправку в измеренное превышение вводят, начиная с расстояния 100 м.