Элементарные свойства сферической поверхности Земли

В первом приближении за фигуру Земли принимается шар с радиусом R=6400 км. В пределах территории 200´200 км с достаточной степенью приближения под фигурой Земли можно понимать шар с радиусом, равным среднему радиусу кривизны эллипсоида в центральной точке этой зоны.

Для решения ряда практических задач необходимо знать, в каких пределах расстояния, измеренные на сфере, можно заменить плоскими расстояниями, сферические углы в многоугольниках - плоскими углами и как влияет кривизна Земли на измеряемые превышения между точками (вертикальные расстояния).

Рисунок 2 сферическое и плоское расстояние, понижение горизонта

При определении предела сферического расстояния S, рассматриваемого как плоское d (Рисунок 2), ставится условие, чтобы относительная разность S и d отвечала неравенству

. (1)

Такое условие ставится потому, что самые точные линейные измерения на местности выполняются именно с такой точностью.

На рисунке 2: S=AB – сферическое расстояние; d=AB¢ - плоское расстояние; R – радиус Земли, равный 6400 км; a_r – центральный угол a, выраженный в радианной мере.

Из рисунка следует, что

; ;

. (2)

Выразив в виде бесконечного ряда, получим

.

После подстановки этого выражения в (2) имеем

, (3)

а так как , то

и . (4)

Учитывая поставленное условие (1), из решения неравенства находим, что

или . (5)

Подставив в последнее выражение значение среднего радиуса Земли R@6400 км, находим, что S£10,9 км. А распространяя аналогичные рассуждения и по другую сторону от точки A (см. Рисунок 2), приходим к выводу, что в пределах 22 км расстояния, измеряемые на сфере, практически равноценны плоским расстояниям.

Затем отметим, что в многоугольнике, построенном на сфере, сумма внутренних углов всегда больше суммы внутренних углов соответствующего плоского многоугольника на величину сферического избытка e. Для фигур земной поверхности с площадью P до нескольких сот квадратных километров сферический избыток e² можно вычислить по приближенной формуле

, (6)

где - значение радиана в секундах дуги; .

Например, для равностороннего прямоугольного треугольника со стороной S=20 км и P@200 км² сферический избыток . Поэтому при решении инженерно-геодезических задач на таких площадях можно считать, что сферические углы равны плоским углам.

Влияние кривизны Земли на измеряемые вертикальные расстояния (превышения) определяются величиной p понижения горизонта (Рисунок 2). Наблюдателю, расположенному в точке А, будет казаться, что точка В находится ниже горизонта на величину ВВ¢=p. При условии, что d<<R, величину p вычисляют приближенно.

Из прямоугольного треугольника ОАВ¢ следует, что

;

или ;

и .

А так как в рассматриваемом случае p<<R, то

. (7)

Для d=10 км p»8 м и пренебрегать влиянием кривизны Земли на измеряемые превышения нельзя.

При решении инженерно-геодезических задач поправку в измеренное превышение вводят, начиная с расстояния 100 м.