Вычисления площадей плоских фигур

Интегрирование по частям

Пусть u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые на функции. Тогда справедлива формула

или

Пример 10.Найти

Решение: Положим u=x, откуда

Согласно формуле находим

2.1.5 Геометрические приложения определённого интеграла

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Если при этом f(x)на этом отрезке, то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, выразится с помощью интеграла:

Замечания:

1. Если же на , то – f(х)на этом отрезке. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

или

Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок надо разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y₂=f₂(x), снизу – графиком функции y₁=f₁(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:

3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x₂=j₂(y), слева – графиком функции x₁=j₁(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:

Пример 11.Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции y = sinx и осью абсцисс при условии .

Решение:

Разобьём отрезок на два отрезка: и . На первом из них sinx, на втором sinx. Тогда, используя формулы, находим искомую площадь: