Полиномиальная сводимость. NP-полные языки и задачи.
Какова связь между определёнными выше классами задач P и NP? Очевидно, что (стадия угадывания отсутствует). Естественным кажется предположить, что включение является строгим, однако это утверждение в настоящее время не доказано. Самым сильным доказанным фактом является утверждение
Теорема 4.1. Если , то существует полином , что P может быть решена детерминированным алгоритмом с временной сложностью .
Поэтому все утверждения в теории NP-полных задач формулируются, исходя из предположения, что . Цель теории NP-полных задач заключается в доказательстве результатов вида: «Если , то ». Данный условный подход основывается на понятии полиномиальной сводимости.
Определение. Язык полиномиально сводится к языку , что обозначается , если существует функция, удовлетворяющая условиям:
1) Существует ДМТ-программа M, вычисляющая f с временной сложностью, ограниченной полиномом, т.е. при некотором k;
2) Для любого выполняется в том и только том случае, если .
Пусть – задачи распознавания, а – их схемы кодирования. Задача P1 полиномиально сводится к задаче P2 (обозначается ), если .
Например, задача существования гамильтонова цикла полиномиально сводится к задаче коммивояжера. Для сведения задачи достаточно положить расстояние между городами равным , если , и , в противном случае. Граница B для длины искомого пути берётся равной , где .
Рассмотрим свойства полиномиальной сводимости.
Лемма 1. Если , то из следует, что .
Доказательство. Пусть – алфавиты языков соответственно. Так как , то существует отображение . Обозначим через:
– полиномиальную ДМТ-программу, реализующую это отображение;
– программу распознавания языка ;
– программу распознавания языка .
Программа распознавания языка может быть построена как композиция программ и . Ко входу применяется программа , которая строит , затем к применяется программа , определяющая верно ли, что . Так как Û , то эта программа является программой распознавания языка .
Оценим временную сложность этой программы. Так как , то . Если , то . Тогда ==, где . Следовательно, . Лемма доказана.
Лемма 2. Если и , то , т.е. отношение транзитивно.
Доказательство аналогично, выполнить самостоятельно.
Определение. Язык L называется NP-полным, если и любой другой язык полиномиально сводится к L ().
Аналогично определяются NP-полные задачи.
Лемма 3. Если , является NP-полным и , то является NP-полным.
Доказательство. Так как , то достаточно показать, что для любого языка справедливо . Язык является NP-полным, а, следовательно, . По условию , поэтому, в силу транзитивности отношения µ (лемма 2) получим .
Лемма 3 даёт рецепт доказательства NP-полноты задачи P. Для этого нужно показать, что:
1) ;
2) Некоторая NP-полная задача полиномиально сводится к P.
Для того чтобы доказывать NP-полноту с помощью полиномиальной сводимости нужно доказать существование хотя бы одной NP-полной задачи. Это сделал в 1971 году С. Кук, а такой задачей явилась задача “выполни-мость”.
Задача “выполнимость”.Задано множество логических переменных и составленный из них набор элементарных дизъюнкций C. Вопрос: существует ли набор значений переменных множества X, на котором истинны все дизъюнкции множества С?
Эквивалентная формулировка данной задачи: “Является ли выполнимой формула, равная конъюнкции всех элементарных дизъюнкций множества С над множеством высказывательных переменных X?”
Теорема Кука. Задача “выполнимость” является NP-полной.
Рассмотрим основную идею доказательства теоремы. Покажем, что произвольную задачу P из NP можно свести к задаче “выполнимость” за полиномиальное время.
Так как , то существует НДМТ-программа M её распознавания с полиномиальным временем работы. Построим группы дизъюнкций, описывающие работу программы M и принимающие значения 1 тогда и только тогда, когда программа M принимает входное слово .
Пусть . Так как , то число шагов МТ-программы ограничивается числом , а номера ячеек ограничены интервалом .
Обозначим:
t – момент времени (номер шага программы) ;
k – номер состояния машины ;
j – номер просматриваемой ячейки ;
l – номер символа алфавита G .
При построении дизъюнкций будут использоваться предикаты:
– в момент времени t программа находится в состоянии ;
– в момент времени t читающая головка просматривает ячейку j;
– в момент времени t в ячейке j находится символ .
При фиксированных значениях предметных переменных они являются высказываниями и могут трактоваться как высказывательные переменные, принимающие различные значения в зависимости от значений параметров. Обозначим множество этих переменных через U, .
Выпишем теперь требуемые группы дизъюнкций и оценим количество дизъюнкций в каждой группе.
1. Группа дизъюнкций описывает конфигурацию программы в начальный момент времени t0:
a) – в момент времени 0 программа находится в состоянии q0;
b) – в момент времени 0 головка просматривает 1-ю ячейку;
c) – в момент времени 0 в 0-й ячейке находится символ b;
d) , , ¼ , – в момент времени 0 в ячейках с номерами с 1-й по n-ю записано входное слово x;
e) , , ¼ , – в момент времени 0 ячейки с номерами с n+1 по пусты.
Общее число этих дизъюнкций равно .
2. Группа содержит утверждения: “В каждый момент t программа M находится только в одном состоянии”. Они записываются следующими дизъюнкциями:
a) , – находится хотя бы а одном состоянии;
b) , (или ) – не может находиться одновременно в 2-х состояниях.
Число таких дизъюнкций равно .
3. Группа содержит утверждения: “В каждый момент t головка просматривает только одну ячейку”. Аналогично получим:
a) , :
b) , .
Количество дизъюнкций группы равно .
4. Группа содержит утверждения: “В каждый момент t каждая ячейка содержит только один символ алфавита G:
a) , , ;
b) , .
Количество дизъюнкций группы равно .
5. Группа описывает переход машинной конфигурации в следующую, согласно функции переходов d (). Введём вспомогательную переменную , выражающую конфигурацию программы в момент t, где , , . Тогда переход в следующую конфигурацию представляется набором дизъюнкций:
a) (представление в виде ДНФ высказывания );
b) ();
c) ().
Общее число этих дизъюнкций равно .
Кроме того, если в момент t ячейка j не просматривается, то её содержимое не меняется. Это описывается высказыванием , которое эквивалентно дизъюнкции
d) .
Количество дизъюнкций d) равно .
6. Группа , отражающая утверждение “Не позднее, чем через шагов программа перейдёт в состояние qY”, состоит из единственного высказывания .
Таким образом, если , то у программы M есть на входе x принимающее вычисление длины не более , и это вычисление даёт при заданной интерпретации переменных набор значений истинности, который выполняет все дизъюнкции из . И наоборот, набор дизъюнкций С построен так, что любой выполняющий набор истинности для С должен соответствовать некоторому принимающему вычислению программы M на входе x.
Осталось показать, что для любого фиксированного языка L индивидуальная задача “выполнимость” может быть построена за время ограниченное полиномом от . В качестве функции длины для задачи “выполнимость” можно взять . Так как и , то . Следовательно, задача “выполнимость” является NP-полной.