Магнитное поле, создаваемое проводом с током. Закон Био – Савара – Лапласа.
Если пропустить прямой провод с током I через лист фанеры, на котором насыпаны железные опилки, то окажется, что силовые линии около провода с током, вдоль которых располагаются маленькие магнитики-опилки, направлены всюду перпендикулярно этому току и представляют собой концентрические окружности (рис.). Их направление определяется по правилу правого буравчика.
Если ток круговой, то силовые линии создаваемого им поля будут такими, как показано на нижнем рисунке . Круговой ток – это элементарный магнит. Северным полюсом N магнита считается та сторона, откуда силовые линии выходят, южным S –куда силовые линии входят.
Био, Саваром и Лапласом было показано, что магнитное поле , создаваемое элементом тока (I·) на расстоянии r, следует находить по формуле: , где – коэффициент пропорциональности, μ0 = 4л·10-7Гн/м –магнитная постоянная. Согласно этой формуле, поле зависит не только от величины тока, создающего поле, и расстояния до точки наблюдения, но и от взаимного расположения векторов (I·) и , т. е. от угла α (рис.). Сравним это выражение с аналогичным в случае электростатического поля, где , создаваемое зарядом dq, находилось по формуле:, но там вектор был параллелен . В случае же магнитного поля направление перпендикулярно и сильно зависит от угла α. Для магнитного поля также справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, созданное несколькими токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым током в отдельности: .
Поле в центре кругового тока(рис.).
Определяя направление в центре окружности, мы видим, что все векторы , создаваемые в этой точке всеми участками , направлены одинаково (на рис. – от нас за чертеж). Следовательно, для нахождения общего можно просто все элементы dB складывать арифметически, так как для них α = 90°: .
Поле бесконечного прямого проводана расстоянии а от него (рис. ). В этом случае все векторы , создаваемые всеми участками в т.М, тоже направлены одинаково, и их можно просто арифметически суммировать (интегрировать). Но теперь для каждого участка величины αи r будут разными. Для взятия интеграла удобнее все переменные свести к углу γ, провести интегрирование по γ от 0 до π/2 и результат удвоить: .
Циркуляция векторапо замкнутому контуру
Определение циркуляции CА некоторого вектора по замкнутому контуру уже давалось в разделе «Электростатика». Для она запишется так:
, где θ – угол между и (рис.) .
Рассмотрим случай, когда контур охватывает ток I.
Будем для простоты считать, что магнитное поле создается прямолинейным проводом с током I, направленным перпендикулярно рис. и от нас, т. е. в любой точке . При повороте на малый угол dφ: dx=a·dφ ; dx/dℓ=cosθ. Подставив под знак интеграла, получим : .
Если замкнутый контур охватывает несколько токов, то под I понимается алгебраическая сумма токов и теорему о циркуляции вектора можно сформулировать так: Циркуляция вектора равна алгебраической сумме токов, пронизывающих контур, умноженной на магнитную постоянную μ0 .
Эту формулу удобно использовать для нахождения магнитной индукции В в различных случаях аналогично тому, как теорему Гаусса было удобно использовать для нахождения напряженности электрического поля Е. Рассчитаем индукцию магнитного поля внутри тороида и длинного соленоида.
На рисунке б изображен тороид, на который намотано N витков провода с током I. Если выбрать контур по оси тороида (пунктир на рис.), то : , откуда получим: . Из этого выражения получим магнитную индукцию внутри длинной катушки – соленоида, если ее рассматривать как часть очень большого тороида: B=μ0·n·I ( – густота намотки ).