Первичная обработка результатов эксперимента. Характеристики вариационных рядов
Пусть произведено независимых измерений некоторой случайной величины : – результат первого измерения, – результат второго измерения, … , – результат -го измерения. Тогда через обозначим среднее арифметическое результатов измерений рассматриваемой случайной величины , то есть
.
Заметим, что, поскольку – случайные величины, то также является случайной величиной.
Пример.Детали некоторого вида расфасованы по ящикам. Результаты обследования шести из этих ящиков (на предмет наличия в них бракованных деталей) представлены в таблице:
где – номер ящика, – число бракованных деталей в -ом ящике.
Тогда
Приведенное вычисление подсказывает возможность более компактного представления результатов обследования, а именно – использование таблицы следующего вида:
где – число бракованных деталей в ящике; – число ящиков.
Такая таблица называется вариационным рядом. Аналогично, в общем случае имеем
Определение. Вариационным рядом признака называется таблица вида
… | |||||
… |
где – возможные значения данного признака, – числа объектов, , – число обследованных объектов ().
Отметим, что величины , значения которых заполняют нижнюю строку вариационного ряда, называются эмпирическими частотами.
Очевидно, что признак , для которого строится вариационный ряд, есть случайная величина.
В том случае, когда результаты обследования представлены вариационным рядом, формула для вычисления имеет вид
(1)
Сама величина в этом случае называется средней вариационного ряда или выборочной средней. Появление в данном случае дополнительного эпитета выборочный связано с тем, что обследованные объекты выбираются из некоторой объемлющей (так называемой генеральной) совокупности объектов.
Напомним, что есть случайная величина. В тех случаях, когда данные эксперимента представлены вариационным рядом, а вычисляется по формуле (1), случайными являются эмпирические частоты .
Вариационный ряд является оценкой закона распределения случайной величины (признака) . Поясним, почему это так. По вариационному ряду построим равнозначную ему таблицу, заменяя строку эмпирических частот частостями . В результате имеем:
… | |||||
… |
Учитывая, что частости являются оценками вероятностей (, см. § 7.1), приходим к требуемому утверждению.
Принимая во внимание последнее замечание, получаем
.
Таким образом, средняя вариационного ряда (выборочная средняя) является оценкой математического ожидания той случайной величины (признака) , для которой построен данный вариационный ряд. Можно доказать, что эта оценка является несмещенной и состоятельной.
Учитывая полученные результаты, аналогично построим оценку для дисперсии случайной величины :
Выражение, стоящее в правой части последнего равенства называется выборочной дисперсией и обозначается , то есть
Выборочная дисперсия – оценка для дисперсии случайной величины . Можно доказать, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой для , то есть Несмещенная оценка для определяется равенством
Заметим, что для вычисления выборочной дисперсии удобно использовать формулу – аналог свойства 3 дисперсии (см. § 3.3):
Определение.Вариационный ряд называется дискретным, если число возможных значений признака– конечно, и непрерывным (интервальным), если возможные значения признака полностью заполняют некоторый интервал.
Вариационные ряды, которые встречались нам до сих пор в данном параграфе, являются дискретными. Рассмотрим пример интервального вариационного ряда.
Пример.По результатам обследования некоторого малого предприятия получены следующие данные о ежемесячной заработной плате его сотрудников:
5 – 15 | 15 – 25 | 25 – 35 | ||
где – размер заработной платы (ден. ед.), – число сотрудников.
Для нахождения параметров непрерывного вариационного ряда – выборочной средней, выборочной дисперсии – этот вариационный ряд сначала сводится к дискретному (в результате выбора середины для каждого из рассматриваемых интервалов), после чего и вычисляются по приведенным выше формулам.
Например, данный интервальный вариационный ряд сводится к следующему дискретному:
Тогда
или