Контрольные карты размаха и стандартное отклонение выборки
Основной формулой для контрольных пределов на -карте является . Подобным образом выглядят формулы для контрольных карт при измерении дисперсии выборок:
Для R-карты:
Для s-карты:
Однако при использовании этих трех формул для вычисления нижних контрольных пределов эти пределы станут меньше 0, когда n равно или меньше 6 для R-карт, и когда n равно или меньше 5 для s-карт. Так как R и s не могут быть меньше 0, нижняя граница в этих случаях не используется.
На рисунках 8.4 и 8.5 показаны контрольные карты R и s для 100 выборок по четыре, представленных в таблице 8.2. Пределы на этих картах вычислены с использованием соответствующих значений и , найденных по таблице 8.2 с помощью уравнений, приведенных в таблице 8.3.
Рисунок 8.4
Рисунок 8.5
Сходство изменчивости от выборки к выборке на R и s картах становится заметным при проведении линии, последовательно соединяющей все точки. Кажется очевидным, что обе карты показывают одинаковую историю. Каждая из них может быть использована для отображения истории процесса; нет необходимости использовать сразу обе.
Целью проведения вычислений как R, так и s для данных в таблице 8.2 было показать, что R и s являются альтернативными измерениями одной и той же характеристики, что они приводят к сходным оценкам s, сходным контрольным пределам для -карт и сходным контрольным картам, показывающим разброс выборок.
При практическом использовании контрольных карт в промышленности для измерения разброса выборок намного чаще используется R, а не s. Как уже было сказано, такой выбор делается вследствие простоты вычисления R с помощью ручных расчетов. Также важно то преимущество, что R более просто для понимания: почти каждый может понять смысл размахов, тогда как люди со слабым знанием статистики с трудом понимают смысл стандартного отклонения.
8.5.4 Оценки s по и при различных объемах выборок в контролируемых процессах
В предшествующем описании -карт предполагалось, что ширина интервала между верхними и нижними контрольными пределами полностью зависит от изменчивости внутри выборок, которая измерялась с помощью среднего размаха или с помощью среднего стандартного отклонения выборок . Оба способа оценки, и , дают оценку s, стандартного отклонения генеральной совокупности. Представляет интерес изучение свойств контролируемого процесса в предположении, что эти оценки s зависят от размера выборки n.
Если образцы выбираются один за другим из нормально распределённой совокупности, каждый образец после проверки возвращается и образцы перемешиваются перед очередным взятием выборки (выборка с возвращением), не существует некоторого естественного размера выборок, т.е. допустимо объединять образцы в выборки любого размера. Для иллюстрации эффекта различия в объеме выборок 400 отобранных образцов были разбиты на выборки по 2, 4, а затем по 8 образцов в выборке, и для каждой выборки были вычислены значения R и s. Значения и для выборок по 2 и по 8 были вычислены для каждого набора по 80 отобранных образцов, и для всех 400 отобранных образцов s была оценена по и с использованием соответствующих множителей d2 и c4 из таблицы 8.6.
В таблице 8.4 показаны оценки s для каждого набора по 80 образцов и для всех 400 образцов с использованием статистик и для оценивания и для трех различных размеров выборок. Можно отметить весьма близкое соответствие между различными оценками s для любого набора образцов. Очевидно, что разброс оценок s от одного набора из 80 образцов к другому значительно больше, чем разброс между различными оценками для любого набора. Казалось бы, с точки зрения оценки дисперсии генеральной совокупности приемлемы многие различные размеры выборок. (Точно так же будет замечено, что и дают одинаковые оценки s для выборок размера 2. Размах выборки размера 2 равен умножить на стандартное отклонение выборки. Следовательно, d2 равно умножить на c4, и равно умножить на ).
Таблица 8.4 - Сравнение оценок стандартного отклонения
генеральной совокупности s по выборкам размера 2, 4 и 8
(известное значение s = 9.95)
Наблюдения | Оценки s | |||||
Выборки по 2 | Выборки по 4 | Выборки по 8 | ||||
По | По | По | По | По | По | |
1-80 81-160 161-240 241-320 321-400 | 8.62 10.75 9.73 8.86 11.68 | 8.62 10.75 9.73 8.86 11.68 | 8.94 10.51 10.51 8.89 11.56 | 8.97 10.64 10.48 9.06 11.48 | 9.24 10.50 9.76 8.85 11.98 | 8.98 10.58 9.89 9.02 12.17 |
1-400 | 9.93 | 9.93 | 10.08 | 10.12 | 10.07 | 10.13 |
Несмотря на то, что достаточно хорошие оценки s могут быть получены по различным выборкам разного размера, в конкретных случаях часто имеются основания для выбора определенного размера выборки.