Вопросы для самопроверки
1) Как определяется множество, элементарное в направлении оси OY ? оси OX? Какой вид имеет такое множество в плоскости XOY?
2) Как вычислить двойной интеграл по области 
, элементарной в направлении оси OY? Оси OX?
3) Как можно разбить область произвольного вида в плоскости XOY на части, каждая из которых будет элементарной в направлении оси OX или OY?
4) Как вычислить двойной интеграл по области произвольного вида в плоскости XOY?
Пример 2. 1)Изменить порядок интегрирования в интеграле
.
2) Вычислить 
, где D- область интегрирования из пункта 1).
Решение.
Y
8
C 
A(4, 4)
 |
0 4 X
Рис.1
1).a)В заданном повторном интеграле пределы внешнего интеграла по переменной 
равны 0 и 4. Это означает, что область интегрирования ограничена прямой x = 0 слева и прямой x =4 справа.
Пределы внутреннего интеграла по переменной 
указывают на то, что область ограничена снизу параболой 
и сверху прямой
. Построив все перечисленные линии, получим область и нтегрирования D(рис1.). Как видно из рисунка, область интегрирования является элементарной в направлении оси ОУ, но не является элементарной в направлении оси ОХ.
b) Для изменения порядка интегрирования область D разбиваем прямой 
на две области
, имеющие общую границу АС. Каждая область будет элементарной в направлении оси ОХ, поэтому заданный интеграл будет равен сумме:
c) Выразим полученные двойные интегралы через повторные по формуле (9). Рассмотрим интеграл по . Как видно из рис.1, наименьшее значение, которое принимает в области, равно 0 в точке(0;0), а наибольшее значение равно 4 в точке (4;4). Следовательно, внешний интеграл по переменной по будет иметь пределы: 0 и 4. Чтобы определить пределы внутреннего интеграла по переменной , проведём мысленно прямую 
, параллельную оси OX так, чтобы 
. Тогда при движении слева направо (в направлении возрастания переменной ), эта прямая будет «входить» в область, пересекая прямую 
, и «выходить» из области, пересекая параболу .Получаем, что - нижний предел. Из уравнения параболы получаем 
- верхний предел. Таким образом, 
.
d) В области наименьшее и наибольшее значения соответственно равны 4 в точке(4;4) и 8 в точке (0;8). При движении вдоль прямойслева направо, эта прямая «входит» в область, пересекая прямую , и «выходит» из области, пересекая прямую .Получаем, что - нижний предел. Из уравнения получаем 
- верхний предел. Тогда 
и общий результат:
=
+.
2) По формуле (9) получим
Задание 2
Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах:
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
|  
|
Задание3
Вычислить двойные интегралы по области , разбивая её при необходимости на области, элементарные в направлении оси OX или OY:
| Двойной интеграл | Уравнения кривых, ограничивающих область
| |
|  ,  , 
| |
|  ,  , 
| |
|  ,  , 
| |
|  ,  , 
| |
|  ,  ,
| |
|  , 
| |
| ,  , 
| |
| треугольник с вершинами 
| |
|  ,  , 
| |
|  , 
| |
|  ,
| |
| ,  , ,
| |
| ,  ,  , 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
|  ,
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|