Вопросы для самопроверки
1) Каков алгоритм построения интегральной суммы для двойного интеграла от непрерывной функции по жорданову множеству ? Зависит ли величина интеграла (5) от разбиения множества на части , ? Зависит ли от того, как выбраны точки , ?
2) Каков геометрический и механический смысл двойного интеграла?
Пример 1. Вычислить двойной интеграл как предел интегральной суммы, если область интегрирования , .
Решение.Обозначим через разбиение , индуцированное разбиениями , где , . , и , , , то есть разбиение на прямоугольники прямыми , , , .
.
Обозначим – прямоугольники разбиения . Тогда ,
Значения функции будем брать в правых вершинах прямоугольников разбиения , то есть , . Тогда
.
,т.к. .
Проверка:
.
Задание 1
Вычислить двойные интегралы по определению: разбивая область интегрирования D прямыми , (, ) на прямоугольники, составить интегральную сумму
для функции по области , выбирая значения подынтегральной функции в правых вершинах прямоугольников разбиения. Вычислить интеграл, рассматривая его как предел интегральнoй суммы при .
№ | A | b | c | d | f(x,y) |
-1 | |||||
-1 | |||||
-2 | |||||
-2 | |||||
-1 | -2 | ||||
-1 | |||||
-2 | |||||
-1 | |||||
-1 | |||||
-1 | |||||
-2 | -1 | ||||
-1 | |||||
-3 | |||||
-2 | -1 | ||||