Свойства корневого годографа.

1. Число ветвей корневого годографа равно n – порядку системы, т.к. число корней равно степени характеристического уравнения.

2. Непрерывность ветвей и их симметричность относительно горизонтальной оси – в силу непрерывной зависимости решения характеристического уравнения от его коэффициентов, а также попарной сопряжённости комплексных корней.

3. Ветви корневого годографа, лежащие на вещественной оси, помещаются только на таких её отрезках, что справа от них расположено нечётное общее число нулей и полюсов.

Доказывается это на основе уравнения фаз: каждый расположенный справа от корня s полюс или нуль даёт угол , каждый расположенный слева на вещественной оси нуль или полюс даёт , каждая пара комплексно сопряжённых корней даёт суммарный угол . Поэтому уравнение фаз может удовлетворяться только за счёт нечётности общего числа нулей и полюсов справа от s на вещественной оси.

4. Относительно начал (К= 0) и концов (К → ∞) ветвей корневого годографа справедливы следующие утверждения:

а) начала ветвей лежат в полюсах P_i разомкнутой системы, т.к. при К= 0 корни замкнутой системы совпадают с полюсами разомкнутой;

б) корни одних ветвей стремятся к нулям передаточной функции разомкнутой системы (таких ветвей m – по числу нулей), а корни остальных (n-m) ветвей уходят в бесконечность.

Докажем это свойство, разделив характеристическое уравнение замкнутой системы на К:

.

Тогда левая часть при будет стремиться к многочлену M(s), корни которого как раз и являются нулями передаточной функции разомкнутой системы. Поскольку порядок характеристического уравнения при этом понижается до m, то остальные n-m корней обращаются в бесконечность.

В самом деле, если порядок уравнения

понизить на единицу, т.е. устремить , то из записи этого уравнения в виде

видно, что при должно выполняться , т.е. . Аналогично при дальнейшем понижении порядка на каждую единицу.

5. Асимптоты ветвей корневого годографа, уходящих в бесконечность, образуют правильную (n-m)-лучевую звезду с центром на вещественной оси, абсцисса которого

,

а углы наклона асимптот

.

Например:

Доказательство.

Основное уравнение (!) согласно (3) можно записать в виде

или

.

Разделим числитель на знаменатель, сохранив для случая только два первых члена. Получим

или

.

Далее, по формуле бинома Ньютона

,

откуда

.

Но поскольку

.

Тем самым при вектор, соответствующий s, состоит из двух векторов

,

первый из которых даёт положение центра звезды, а второй даёт (n-m) лучей, длины которых при неограниченно возрастают.

6. Точки пересечения ветвей корневого годографа с мнимой осью соответствуют чисто мнимым корням характеристического уравнения. Поэтому, как следует из критериев устойчивости, эти точки можно найти либо из условия , либо, лучше всего, из условия прохождения годографа Михайлова замкнутой системы через начало координат P(ω,K)=0, Q(ω,K)=0, где P(ω)+iQ(ω) = D(iω).

Эти условия определяют и ординаты w пересечения годографа с мнимой осью и соответствующую величину К.

7. Точки пересечения ветвей корневого годографа с вещественной осью это точки, в которых два корня сливаются, превращаясь из вещественных в мнимые или наоборот.

Для определения координат этих точек на вещественной оси используется уравнение фаз в малых приращениях, соответствующее малому перемещению какого-либо корня вдоль ветви годографа.

Такое уравнение имеет вид

,

т.к. правая часть уравнения фаз является постоянной величиной.

Пример.

,

т.е.

или

,

откуда можно определить искомую величину α.

Другой способ отыскания точек ветвления корневых траекторий (точек двойной кратности):

При s = s₁ имеем D(s₁) = 0 и , т.е.

.

Тогда условие кратности корней и уравнение для самих корней:

.

Пример (см. начало лекции):

.

8. Если имеются комплексные полюса (или нули), то угол выхода ветви корневого годографа из комплексного полюса (или входа в комплексный нуль) можно определить из уравнения фаз для этого полюса (или нуля).

В самом деле, при малом удалении корня s_j от полюса P_j искомая касательная к траектории корня совпадает с вектором s_j - P_j, наклон которого θ_j входит в уравнение фаз и может быть из него определён:

.

9. Из расположения асимптот в виде правильной (n-m)-лучевой звезды вытекает, что при (n-m)>0 одни ветви идут вправо, т.е. приближаются к мнимой оси с увеличением К, а другие уходят влево, т.е. удаляются от мнимой оси. Очевидно, что при оценке качества процесса управления важны первые из них, а влиянием остальных можно пренебречь. Ближайшие к мнимой оси корни называются доминирующими.

10. При построении корневых годографов бывает полезно использовать свойство суммы и произведения корней:

.

Эти формулы позволяют найти оставшиеся 2 корня при n-2 найденных ранее.

Полученные общие свойства, каждое из которых достаточно очевидно, в совокупности представляют эффективный инструмент анализа корней замкнутой системы.

Пример.

Построим корневой годограф замкнутой системы с передаточной функцией разомкнутой в виде

, где b > a.

Хотя в этом, также простом, случае корневые траектории можно построить непосредственно по решениям характеристического уравнения ,

воспользуемся основными свойствами корневых траекторий.

1. Поскольку n = 2, то имеем две корневые траектории.

2. Ветви симметричны относительно вещественной оси.

3. На вещественной оси траектории могу располагаться только слева от точки – b и между точками 0 и – a.

4. Одна траектория должна прийти в «нуль»: точку –b, другая – в ¥.

5. (n-m)-лучевая звезда имеет одну асимптоту - 180°.

6. Так как корни характеристического уравнения положительны, то при всех К>0 замкнутая система остается устойчивой. Поэтому корневые траектории мнимую ось не пересекают.

7. Точки пересечения корневых траекторий с действительной осью определяется уравнением

.

8. Угол входа в «нуль»

Следовательно: корни s₁ и s₂ выходят из Р₁ и Р₂ и движутся навстречу друг другу. При К=К₁ корни становятся кратными действительными, затем расходятся, превращаясь в два мнимых, после чего сливаются в двукратный корень при К=К₂ и расходятся: один в нуль N₁, другой в -∞.