Поверхностный интеграл 2 рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.

.

.

.

При делении комплексных чисел их модули,соответственно делятся,а аргументы-вычитаются.

Извлечение корней из комплексных чисел.

Извлечение корня п-ной степени определяется как действие,обратное возведению в натуральную степень.

Определение.Корнем п-йстепени из комплексного числаназывается комплексное число ,удовлетворяющее равенству , т.е. ,если .

Если положить ,,то по определению корня и формуле Муавра ,получаем:

Отсюда ,,т.е .

Поэтому равенство принимает вид:

Получим п различных значений корня.При других значениях k ,в силу периодичности косинуса и синуса,получатся значения корня,совпадающие с уже найденными.

ПРИМЕР.Найти значения а). , в). .

а).Запишем i в тригонометрической форме: , ,

тогда ,

При k=0 имеем: ,

k=1 имеем: ,

k=2 имеем: .

в). Запишем -1 в тригонометрической форме: , ,

тогда ,

При k=0 имеем: ,

k=1 имеем: ,

 

 

Глава 16.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный.

§1.Поверхностные интегралы I рода.

1.1.Основные понятия.

z n

Pi∆σyz

σi

σ ∆σxz ∆σi ∆σ

 

 
 


x ∆σxy y

Рис.1. Рис.2

 

Пусть в точках некоторой поверхности σ с площадью σ пространства OXYZ определена непрерывная функция f(x,y,z).Разобьем поверхность σ на n частей σi,

площади которых обозначим через ∆σi ,а диаметры - через di (i =1,2… n).

В каждой части σi возьмем произвольную точку Pi и составим сумму

f(xi ,yi ,zi ) ∆σi

Она называется интегральной для функции f(x,y,z) по поверхности σ.

 

 

Определение.Поверхностным интегралом первого рода отфункции

f(x,y,z) по поверхности σ называется предел интегральной суммы(если он существует)

f(x,y,z) dσ = f(xi ,yi ,zi ) ∆σi

гдe ∆σi площадь элемента i-ого поверхности σ ,которой принадлежит точка

(xi ,yi ,zi ) при λ=∆di →0(тогда n→∞).

ТЕОРЕМА существования. Если поверхность σгладкая(в каждой ее точке существует

касательная плоскость,которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности),

а функция f(x,y,z) непрерывна на этой поверхности,то поверхностный интеграл существует.

 

Основные свойства поверхностного интеграла 1 рода.

1). kf(x,y,z)dσ = k f(x,y,z)dσ ,где k-число.

 

2). [ f1(x,y,z)± f2(x,y,z)]dσ =f1(x,y,z)dσ ± f2(x,y,z)dσ

 

3). Если поверхность разбита на 2 части σ1 e σ2, то :

f(x,y,z)dσ =f(x,y,z)dσ +f(x,y,z)dσ

4).Если на поверхности выполнено неравенство f1(x,y,z) ≤ f2(x,y,z),то

f1(x,y,z) dσ ≤ f2(x,y,z) dσ.

5). dσ = σ ,где σ – площадь поверхности σ .

6). |f(x,y,z) dσ | ≤ |f(x,y,z)|dσ .

7).(Теорема о среднем значении)Если f(x,y,z) непрерывна на поверхности σ ,

то на этой поверхности существует точка (xc,yc,zc) такая,что

f(x,y,z) dσ = f(xc,yc,zc)*σ.

 

1.2.Вычисление поверхностного интеграла 1 рода.

Вычисление поверхностного интеграла 1 рода сводится к вычислению двойного

интеграла по области D- проекции поверхности σ на плоскость ОХУ.

σi OXY

Как и в только что рассмотренном случае разобьем поверхность σ на n частей σi,

и возьмем в плоскости ОХУ (область D) произвольную точку Сi .При

этом область D окажется разбитой на n частей σxy i .Из произвольной точки Сi

восстановим перпендикуляр к плоскости ОХУ до пересечения с поверхностью σ –

получим точку М(xi ,yi ,zi ) проведем через нее касательную плоскость и рассмотрим

ту ее часть Тi ,которая на плоскость ОХУ проектируется в областσxy i .Получаем площади элементарных частей σi , Тi , σxy i ,которые обозначим через ∆σi , ∆Тi , ∆σxy i соответственно.

Будем приближенно считать,что

∆ Тi ≈ ∆ σi .

Обозначим через γi отрый угол между осью OZ и нормалью к поверхности в

точке Мi, получаем: ∆ Тi *cos γi ≈ ∆σxy i.

Область ∆σxy i есть проекция Тi на плоскость ОХУ.

Если поверхность σ задана уравнением z=z(x,y),то уравнение касательной

плоскости в точке Сi : ,

где - координаты нормального вектора к плоскости.

Острый уголγi есть угол между векторами и=(0,0,1).

Косинус угла между ними равен:

cos γi = =1/ .

Тогда равенство принимает вид:

∆ Тi ≈ ∆σxy i /cosγi =∆σxy i

Переходя к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра σi , а

следовательно и его проекции σxy I, получаем формулу,выражающую

интеграл по поверхности σ через двойной интеграл по проекции σ на плоскость ОХУ:

∫ ∫ f(x,y,z) dσ = ∫ ∫ f(x,y, z(x,y)) dxdy

σ σxy

Отметим,что если поверхность σ задана уравнением вида у=у(х, z) или

х=х(у, z) ,то аналогично получим:

 

∫ ∫ f(x,y,z) dσ = ∫ ∫ f(x, y(х,z), z) dxdz

σ σ xz

 

 

∫ ∫ f(x,y,z) dσ = ∫ ∫ f(x(y,z),y, z)) dydz .

σ σ yz

ПРИМЕР.Вычислить ∫ ∫ dσ, гдe σ - часть параболоида

σ

вращения z=1-x2-y2, ограниченного поверхностью z=0 (Рис.3 ).

z y

x

x 1 Рис.3 y Рис.4

Решение:

Поверхность σ имеет проекцию на плоскости OXY , которая ограничена кругом x2+y2=1( z=0) с радиусомR=1(Рис.4).

Найдем производные: z’x(x,y)= -2x; z’y(x,y)= -2y. (при z = φ(x,y)):

По формуле:

 

∫ ∫ f(x,y, φ(x,y)) dxdy =

D

∫ ∫ dxdy = ∫ ∫ (1+4x2+4y2)dxdy.

D D

Используя полярные координаты: x=rcosφ, y=rsenφ, находим

2π 1 2π 1

∫ ∫ (1+4x2+4y2)dxdy= ∫ dφ ∫ (1+4r2)rdr = ∫ dφ [r2/2+r4] =

S 0 0 0 0

2π

1,5 ∫dφ = 1,5(2π-0) = 3π.

0

ПРИМЕР: Вычислить ∫ ∫ x(y+z) dσ, гдe σ - часть цилиндрической поверхности

σ

х=,отсеченной плоскостями z=0,z=2 (Рис.5 ). z

z 2 y

x 1 Рис.5 y Рис.6

Решение:

Почему имеем только 0,5 циллиндра? Из уравнения х=, следует,что это часть круга,где х принимает только положительные значения.

Поверхность σ имеет проекцию на плане OZY в области D-прямоугольник , который ограничен линиями z=0 ,z=2 и кругом x2+y2=1( z=0). D (Рис.6).

Найдем производные: (x’y)=; (x’z)=0

По формуле:

∫ ∫ f(x,y,z) dσ = ∫ ∫ f(x,y,z) dσ = ∫ ∫ f(x(y,z),y, z)) dydz =

σ σ yz

 

= ∫ ∫(у+ z)dydz = ∫ ∫ (у+ z) dydz = dy(у+z)dz =

σ yz σ yz

= (у z +)dy=(2у+2) dy=(у²+2у) =1+2-1+2=4.

§2.Поверхностные интегралы II рода.

2.1.Основные понятия.

Поверхностный интеграл II рода строится по образцу криволинейного интеграла

II рода, где направленную кривую разлагали на элементы и проектировали их на

координатные оси; знак брали в зависимости от того, совпадало ли ее направление с

направлением оси или нет.

Пусть задана двусторонняя поверхность (таковой является плоскость, эллипсоид,

любая поверхность,задаваемая уравнением z=f(x,y),где сама функция и ее производные непрерывны в некоторой области D плоскости ОХУ).

После обхода такой поверхности ,не пересекая ее границы, направление

нормали к ней не меняется. Примером односторонней поверхности является так называемый

лист Мебиуса,получающийся при склеивании сторон АВ и СД прямоугольника АВСД так,

что точка А совмещается с точкой С,а В- с Д.

В С

А Д

Пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности σ в пространстве

ОХУZ определена непрерывная функция f(x,y z).Выбранную сторону поверхности

(в таком случае говорят ,что поверхность ориентирована) разбиваем на части σi ,

где(i =1,2… n) и проектируемих на координатные плоскости.

При этом площадь проекции ∆ σi берем со знаком:

- плюс,если выбрана верхняя сторона поверхности,или,что то же

самое, если нормаль к выбранной сторонеповерхности составляет

с осью ОZ острый угол, т.е. (cosγ >0)и

- минус ,если выбрана нижняя сторона поверхности ( cosγ <0) .

В этом случае интегральная сумма имеет вид:

,где ∆ σхуi –площадь проекции σна плоскость ХОУ.

Определение.Предел интегральной суммы,если он существует и не зависит

от способа разбиения поверхности σ на части σ i и от выбора точек Ci σi

называется поверхностным интегралом II рода (по координатам) от

функции f(x,y z) по переменным х и у по выбранной стороне поверхности и

обозначается

Тогда

 

Аналогично определяются поверхностные интегралы 2 рода по переменным

y, z иz ,x : ,

Общим видом поверхностного интеграла 2 рода служит интеграл(связь между

поверхностными интегралами I и II рода):

 

∫ ∫P(х,у,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy= ∫ ∫[Pcos α + Qcosβ + Rcosγ] dσ (1)

σ+ σ

Отметим,что если σ– замкнутая поверхность,то поверхностный интеграл по внешней стороне ее обозначается ,по внутренней- .

 

Из определения поверхностного интеграла II рода вытекают следующие свойства:

2).Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла.

3).Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.

4) Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности σ= σ1+σ2 равен сумме интегралов по ее частям σ1 иσ2 ,если σ1 иσ2 пересекаются только по границе,их разделяющей.

5).Если σ1, σ2,σ3 - цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям OX,OY,OZ ,то

∫ ∫R(x,y,z)dxdy= ∫ ∫ P(x,y,z)dydz= ∫ ∫Q(x,y,z)dzdx=0.

σ1 σ2σ3

 

2.2.Вычисление поверхностного интеграла II рода.

Вычисление поверхностного интеграла 2 рода сводится к вычислению двойного интеграла.

Пусть функция R(x,y,z) непрерывна во всех точках поверхности σ заданной уравнением z= z (x,y),где z (x,y)-непрерывная функция в замкнутой области D (илиDху) – проекция поверхности σ на ОХУ.

Выберем сторону поверхности σ,где нормаль к ней образует с осью Оzострый угол, тогда получим результат со знаком (+),

если выбрать вторую сторону поверхности ,т.е. нижнюю,(тупой угол) то

полученный интеграл будет со знаком (-).

∫ ∫R(x,y,z)dxdy = ± ∫ ∫ R(x,y,z(x,y)) dxdy (2)

σ+ Dху

Аналогично: если поверхность задана уравнением у=у(х,z)

∫ ∫Q(x,y,z)dzdx = ± ∫ ∫Q(x,y(x,z),z)dzdx (3)

σ+ Dxz

и если поверхность задана уравнением х=х(у,z)

∫ ∫ P(x,y,z)dydz = ±∫ ∫P(x(y,z),y,z)dydz . (4)

σ+ Dyz

Для вычисления общего поверхностного интеграла II рода используются выше рассмотренные формулы,проектируя поверхность на все три координатные плоскости:

 

∫ ∫ P(х,у,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=

σ+

= ±∫ ∫P(x(y,z),y,z)dydz ± ∫ ∫Q(x,y(x,z),z)dzdx ± ∫ ∫ R(x,y,z(x,y)) dxdy .

Dyz Dxz Dху

Если поверхность σ дана в форме F(x,y,z)=0,то косинусы

нормального вектора этой поверхности определяются по формулам:

; ; ,где

D = ± ,

И выбирается знак перед радикалом в зависимости от поверхности внутренней или внешней.


Справедливо равенство:


cosα* dσ = dydz; cosβ* dσ = dzdx; cosγ * dσ = dxdy.


где dσ – элемент площади поверхности σ; cosα, cosβ , cosγ - направляющие косинусы нормали к выбранной стороне поверхности σ .

Если вычисление какого-либо из 3 интегралов уравнения поверхности

нельзя записать в форме адекватной, необходимо разделить поверхность на части и

считать как сумму интегралов.

По свойствам, если в интеграле между частями цилиндрической поверхности

образующие параллельны, например оси OZ, интеграл

∫ ∫ RcosγdS равен нулю,поскольку нормаль перпендикулярна образующей и

γ=π/2; cosγ=0.Также равна нулю и левая часть формулы (1),

потому что проекция на плоскостьOXY - линия, не область.

Можно сделать аналогичное заключение и для других осей,если в интеграле

образующие части цилиндрической поверхности параллельны каким-либо другим осям.

 

ПРИМЕР: Вычислите∫ ∫ xdydz+dzdx+xz2dxdy, если S

S

верхняя часть сферы x2+y2+z2=1вI октанте.

Решение:

 

Проекции на плоскости z

соответственно

D1,D2,D3 , они являются ¼ части D2 D1

кругов с радиусом 1.

x D3 y

I1 = xdydz =,

I2 =dxdz =, I3 = xz²dxdy =/

 

Используем полярные координаты: y=rcosφ,z=rsenφ ,0≤θ≤π/2

I1 =.

I2 =.

В полярных координатах: х=rcosφ,у=rsenφ ,0≤θ≤π/2

I3 =.

I = I1+I2+I3 = π/6 + π/4+2/15 = 5π/12 + 2/15.

ПРИМЕР: Вычислите∫ ∫ -xdydz+zdzdx+5dxdy по верхней стороне части плоскости

S

2х-3у+z=6, лежащей в IVоктанте. z

y

x

Знаем,что если поверхность σ дана в форме F(x,y,z)=0,то косинусы

нормального вектора этой поверхности определяются по формулам:

; ; ,где

D = ± ,

И выбирается знак перед радикалом в зависимости от поверхности -внутренней или внешней.

Тогда , ,

и нормальный вектор плоскости равен .

Вычислим направляющие косинусы: ,

, , ,

Поэтому перед двойным интегралом в формулах (2),(4) следует брать знак «+»,а в формуле (3) – знак «-».


2.3.Формула Остроградского-Гаусса.

Связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности

и тройным интегралом по обьему,ограниченному этой поверхностью

устанавливает следующая Теорема.

Если функции P, Q, R непрерывны вместе со своими частными производными

первого порядка в пространственной области V, то имеет место формула (1):

.

гдe =(cosα,cosβ,cosγ)-вектор нормали к поверхности S и S-граница области V

и интегрирование по S производится по ее внешней стороне.

Формула (1) называется ФОРМУЛОЙ ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА(является

аналогом формулы Остроградского-Грина).

Замечание. 1).Формула (1) справедлива для любой области V ,которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного вида.

2).Формулу Остоградского-Гаусса можно использовать для вычисления поверхностных интегралов II рода по замкнутым поверхностям.

 

ПРИМЕР: Если поверхность S ограничивает область кубическую T , используя

формулу Остроградского-Гаусса (1) , получим:

, гдe V - обьем тела.

Глава 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.

§1.Основные понятия.

Теория поля – крупный раздел физики,механики,математики,в котором изучаются скалярные,векторные,тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики,электротехники, математики, механики и др.технических дисциплин.

Изучение одних физических полей способствует изучению других.Так например,силы всемирного тяготения ,магнитные,электрические силы- все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника,вид силовых линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т.д.

Математическим ядром теории полдя являются такие понятия,как градиент,поток,потенциал,дивиргенция,ротор,циркуляция и др.Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

 

Определение. Полем называется область V пространства,в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке Р этой области соответствует определенное число u=f(P) = f(x,y,z) ,гдe P(x,y,z)говорят,что в области определено или задано скалярное поле(или функция точки).Иначе говоря ,скалярное поле- это скалярная функция u=f(P) вместе с ее областью определения.

Если же каждой точке Р области пространства соответствует некоторый вектор а=а(Р) ,то говорят,что задано векторное поле(или векторная функция точки).

 

ПРИМЕРЫ СКАЛЯРНЫХ ПОЛЕЙ:

температуры(воздуха,тела…),

атмосферного давления,плотности(массы,воздуха…) и т.д.

ПРИМЕРЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ:

поле силы тяжести,

поле скоростей частиц текущей жидкости(ветра)

магнитное поле, и т.д.

§2.Скалярное поле.

Определение. Стационарным (установившимся) называется

скалярное(векторное) поле,если функция u=f(P) не зависит от времени.

Определение. Нестационарным (неустановившимся) называется

скалярное(векторное) поле,которое меняется с течением времени.

Далее рассматриваем только стационарные поля.

Запись поля возможно производить как в форме u=f(P) = f(x,y,z),так и

U=U(r),гдеr-радиус-вектор точки Р.

Определение. Плоским называется скалярное поле U(х,у) ,т.е. когда скалярная функция зависит только от 2 переменных х,у.

Аналогично: вектор ,определяющий векторное поле,можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов x,y,z:

или .

Вектор можно представить в виде:

, где

- проекции вектора а на оси координат.

Если одна из проекций вектора равна нулю, а две другие зависят только от 2 переменных, то векторное поле называется плоским,например, .

Определение. Векторное поле называется однородным,если -постоянный вектор.т.е. P,Q,R- постоянные величины.Пример: поле тяжести – P=0 ,Q=0 ,R=-mg,

где g–ускорение силы тяжести, m-масса точки.

В дальнейшем считаем,что скалярные функции непрерывны вместе со своими частными производными.

ПРИМЕРЫ:

1).Функция u= определяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом r=1.

2).скалярное поле u=определено во всем пространстве, за исключением точек оси OZ(на ней х²+у²= 0).

Рассмотрим скалярное поле задаваемое функцией u= u(x,y,z).

Для наглядного представления скалярного поля используем поверхности и линии уровня.

Определение. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место

точек,в которых функция принимает постоянное значение, т .е. f(x,y,z)=C, (1)

гдe C=constante.

Придавая в уравнении (1) величине С различные значения,получаем различные поверхности уровня,которые в совокупности как бы расслаивают поле.Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня.Ее уравнение находят путем подстановки координат точки в уравнение (1).

Для скалярного поля,образованного функцией и=,поверхностями

уровня является множество концентрических сфер с центрами в начале координат:

=С. При С=1 сфера представляет собой точку.

В случае плоского поля равенство f(x,y) = C представляет собой собой

уравнение линии уровня поля ,т.е. линия на плоскости ОХУ ,в точках которой функция

f(x,y) = C сохраняет постоянное значение.

В метеорологии,например,сети изобар и изотерм(линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.

Линии уровня используются в математике при исследовании поверхностей методом сечений.

На рисунках представлены примеры ,

 


 

U=xy U=y/x2

(1=xy,-1=xy,2=xy,-2=xy,…) (1=y/x2, -1= y/x2, 2=y/x2,…)

 

 


U=r2 U=1/r

(x2+y2=1, x2+y2=2, x2+y2=3,…) (x2+y2=1,x2+y2=1/2, x2+y2=1/3,…)

§3.Векторное поле.

Рассмотрим векторное поле ,задаваемое вектором .Простейшей геометрической характеристикой поля являются векторные линии.

Определение.Векторной линией поля (линии силы,..) называется линия ,касательная

к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора