Метод подстановки.

.

И .

Относительно осей Ох,Оу вычисляются по формулам

Моменты инерции плоской фигуры. Моменты инерции плоской фигуры

ПРИМЕР.Вычислить обьем тела,ограниченного поверхностями x=0, y=0, x+y+z=1, z=0.

Решение: _z

ПРИМЕР.Вычислить площадь фигуры Лемниската (x²+y²)²=2xy.

Используя полярные координаты

x=rcosθ, y=rsenθ,получим :

(r²cos²θ +r²sen²θ)²=2r²senθ cosθ,

Рис.9

r²=sen2θ, 0≤ r ≤√sen2θ, 0≤ θ ≤π/4 .

.

§2.Тройной интеграл.

Обобщением опроеделенного интеграла на случай функции трех

переменных является так называемый «тройной интеграл». Теория тройного

интеграла аналогична теории двойного интеграла.

Пусть в замкнутой области V пространства Оxyz задана непрерывная

функция u = f(x,y,z) Разбив область V сеткой поверхностей на n частей

Vi(i=1,..n) и выбрав в каждой из них произвольную точку Мi(х i,уi, zi ) составим

интегральную сумму

∑ f (М _i ) ∆v_i (2.1)

для функции f(x,y,z) по области V (здесь∆v _i обьем элементарной области v_i. ).

Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа

n таким образом,что каждая элементарная область v _i стягивается в точку(т.е. диаметр области di cтремится к нулю,т.е. di →0)то его называют тройным интегралом от функции u = f(x,y,z) по области V и обозначают

∫∫∫ f(х,у,z )dv или∫∫∫ f(х,у,z )dxdydz

^VV

Итак,имеем , (2.2)

гдеdv= dxdydz –элемент обьема.

Тройной интеграл обладает теми же свойствами,что и двойной интеграл.

2.1.Вычисление тройного интеграла в декартовых

координатах.

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Пусть областью интегрирования V является тело,ограниченное снизу поверхностью Z=Z1(x,y), сверху- поверхностью Z=Z2(x,y), при чем Z1(x,y) ≤ Z2(x,y)

иэти функции непрерывны в области D,являющейся проекцией тела на плоскость Оху.

Будем считать область V- правильной в направлении оси Оz, любая прямая,

параллельная оси Оz, пересекает границу области не более чем в двух точках.

( Рис1-неправильная, Рис.2-правильная).Тогда для любой непрерывной

в области f (x,y,z ) имеет место формула

сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного.

_{Z Z= Z2 (X,Y)}

^Z

_{Z= Z1 (X,Y)}

_{a Y}

_{X b D}

X

^Y _{у=φ1(X,Y) у=φ2(X,Y)}

Рис.1Рис.2

Если область D ограничена линиями х=а, х=в(а<в),у= φ₁(x), y= φ₂(x),_,

где φ₁(x), φ₂(x)непрерывны на отрезке [а,в] при чем φ₁(x), _≤ φ₂(x),то переходя от

двойного интеграла к повторному,получаем формулу

,

по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах.

ПРИМЕР. Найти обьем тела,ограниченногоциллиндром y=x² и поверхностями

y+z=4и z=0.

Решение:

Эта область V-правильная в направлении оси ОZ

ограничена поверхностями z=4-y и z=0.

Проекцией на Oху есть область D – парабола

y=x² и прямая y=4.

Рис.3

 

2.2.Замена переменных в тройном интеграле.

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.

При вычислении тройного интеграла,как и двойного часто применяется

Пусть совершена подстановка x =φ(u,v,w) , y = ψ(u,v,w), z=χ(u,v,w).Если

эти функции имеют в некоторой области V* пространства Оиvw непрерывные частные производные и отдичный от нуля определитель(якобиан) ,

то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:

.

 

Для вычисления тройного интеграла часто используются цилиндрические координаты.

Положение точки М(х,у,z) в пространстве Оxyz можно определить

заданием трех чисел r, θ , z (Рис.4),где

r -длина радиуса-вектора проекции точки М на плоскостьОxy,

θ-угол,образованный этим радиусом-вектором с осью Ox,

z –аппликата точки М.

Эти три числа (ρ, θ , z) называются цилиндрическими координатами точки М.

Они связаны с декартовыми координатами следующими соотношениями:

x= r cosθ; y= r senθ; z= z , где r ≥0, 0≤θ≤2π; zR.

_z

М(θ,r,z)

_{z y}

^θ

r

^x

Рис.4

 

Вычислим якобиан: .

Формула замены переменных имеет вид:

.

Замечание.К цилиндрическим координатам удобно переходить,если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

ПРИМЕР.Определить интеграл I = ∫∫∫ (y²+ z² ) dxdydz ,

^V

если областью интегрирования V является прямоугольный цилиндр,высотой 2h

и радиусом 1 . Z

Выберем систему координат:

цилиндрическую,

используем формулы

x= r cosθ; y= r senθ; z= z,

поставим в интеграл 2h _y

I = ∫∫∫ (y²+ z² ) dxdydz. ^R

^{V х}

В координатах циллиндрических: Рис.5