Называется определителем Якоби или якобианом,он равен
. -
Если поле интегрирования не соответствует форме координат полярных,можно
разделить его на части способом,когда использование координат полярных уместно.
Замечание.Переход к полярным координатам полезен,когда подынтегральная функция
имеет вид 
; область D есть круг,кольцо или часть таковых.
Для перехода из области D в область D* совмещают декартову и полярные
системы координат,находят нужные пределы интегрирования по r и θ (исследуя закон
изменения r и θ точки (r,θ) при отождествлении с точкой (х,у) области D.
ПРИМЕР .Определить величину двойного интеграла
∫ ∫ (x2 + y2)dxdy, где область D -круг x2+y2=2x, используя полярные координаты.
Область D: x2-2x+1-1+y2=0→(x-1)2+y2=1 – круг с радиусом R=1 e C(1,0).
Рис.6.
Пусть x =rcosφ ,y = rsenφи поставив в уравнение окружности, получим :
r2(cos2φ + sen2φ)=2 rcosφили r2=2r cosφпоэтому 0≤r≤2cosφ ,
–π/2≤φ≤π/2 ограничивают область D*(Рис 6).
,
1.4.Приложения двойного интеграла.