Алгоритм разработки модели.

Модели, применяемые в исследовании экономических систем управления и их классификация.

Современная экономическая теория, как на микро-, так и на макроуровне, включает как естественный, необходимый элемент математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов: изучение столь сложного объекта предполагает высокую степень абстракции. Во-вторых, из четко сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики и статистики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям. Наконец, в-четвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы.

Математические модели использовались с иллюстративными и исследовательскими целями еще Ф. Кенэ (1758 г., "Экономическая таблица"), А. Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д. Рикардо (модель международной торговли). В XIX веке большой вклад в моделирование рыночной экономики внесла математическая школа (Л. Вальрас, О. Курно, В. Парето, Ф. Эджворт и др.). В XX веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон и др.). Развитие микроэкономики, макроэкономики, прикладных дисциплин связано с более высоким уровнем их формализации. Основу для этого заложил прогресс в области прикладной математики - теории игр, математического программирования, математической статистики. В России в начале XX века большой вклад в математическое моделирование экономики внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий. В 1930-е - 50-е годы в этой области не наблюдалось прогресса вследствие идеологических ограничений тоталитарного режима. В 1960-е - 80-е годы экономико-математическое направление возродилось (В.С. Немчинов, В.В. Новожилов, Л.В. Канторович), но было связано, в основном, с попытками формально описать "систему оптимального функционирования социалистической экономики" (Н.П. Федоренко, С.С. Шаталин и др.). Строились многоуровневые системы моделей народнохозяйственного планирования, оптимизационные модели отраслей и предприятий. Сейчас важной задачей является моделирование процессов переходного периода.

Любое экономическое исследование всегда предполагает объединение теории (экономической модели) и практики (статистических данных). Мы используем теоретические модели для описания и объяснения наблюдаемых процессов и собираем статистические данные с целью эмпирического построения и обоснования моделей.

Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями.

Модель – это копия реального объекта, обладающая его основными характеристиками и способная имитировать его поведение.

Построение модели помогает привести сложные и подчас непреодолимые факторы, связанные с проблемой принятия решения, в логически стройную схему, доступную для детального анализа. Такая модель позволяет выявить альтернативы решения задачи и оценить результаты, к которым они приводят, а также дает возможность определить, какие данные необходимы для оценки имеющихся альтернатив. В итоге это обеспечивает получение обоснованных выводов. Короче говоря, модель является средством формирования четкого представления о действительности.

Примерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие. Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы. Формализация основных особенностей функционирования экономических объектов позволяет оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такие оценки в управлении.

Как обычно строится экономическая модель?

1. Формулируются предмет и цели исследования.

2. В рассматриваемой экономической системе выделяются структурные или функциональные элементы, соответствующие данной цели, выявляются наиболее важные качественные характеристики этих элементов.

3. Словесно, качественно описываются взаимосвязи между элементами модели.

4. Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта и формализуются, насколько возможно, взаимосвязи между ними. Тем самым, формулируется математическая модель.

5. Проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного решения.

Следует различать математическую структуру модели и ее содержательную интерпретацию. Рассмотрим следующие два простых примера.

Пример 1. Пусть требуется определить, какую сумму следует положить в банк при заданной ставке процента (20% годовых), чтобы через год получить $12000?

Вводя формальные обозначения для величин, фигурирующих в задаче:

начальная сумма денег – M ₀,

конечная сумма денег – M ₁,

ставка процента - R

и записывая соотношение между ними

найдем требуемую величину из решения основного уравнения модели

Пример 2. Пусть требуется определить, каков был объем выпуска продукции завода, если в результате технического перевооружения средняя производительность труда увеличилась на 20%, и завод стал выпускать 12000 единиц продукции.

Вводя формальные обозначения для величин, фигурирующих в задаче:

начальный выпуск –Q₀,

конечный выпуск – Q₁,

процент прироста производительности - R,

и записывая соотношение между ними (следующее из определения средней производительности труда )

найдем искомую величину из решения основного уравнения модели

Сравнивая полученные модели и результаты, мы можем заметить, что математическая форма модели

и даже числовые значения входящих в нее величин в обоих случаях одинаковы, однако экономическая ситуация, описываемая моделью, экономическая интерпретация модели и результатов расчета совершенно различны. Таким образом, одни и те же математические модели и методы могут быть использованы для решения совершенно различных экономических задач.

Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. Предсказание будущих изменений, например, повышение обменного курса, ухудшение экономической конъюнктуры, падение прибыли может опираться лишь на интуицию. Однако при этом могут быть упущены, неправильно определены или неверно оценены важные взаимосвязи экономических показателей, влияющие на рассматриваемую ситуацию. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более качественный и надежный прогноз.

Для любого экономического субъекта возможность прогнозирования ситуации означает, прежде всего, получение лучших результатов или избежание потерь, в том числе и в государственной политике.

По своему определению любая экономическая модель абстрактна и, следовательно, неполна, поскольку выделяя наиболее существенные факторы, определяющие закономерности функционирования рассматриваемого экономического объекта, она абстрагируется от других факторов, которые, несмотря на свою относительную малость, все же в совокупности могут определять не только отклонения в поведении объекта, но и само его поведение. Так, в простейшей модели спроса считается, что величина спроса на какой-либо товар определяется его ценой и доходом потребителя. На самом же деле на величину спроса оказывает также влияние ряд других факторов: вкусы и ожидания потребителей, цены на другие товары, воздействие рекламы, моды и так далее. Обычно предполагают, что все факторы, не учтенные явно в экономической модели, оказывают на объект относительно малое результирующее воздействие в интересующем нас аспекте. Состав учтенных в модели факторов и ее структура могут быть уточнены в ходе совершенствования модели.

Математическая модель экономического объекта - это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Гомоморфное отображение объединяет группы отношений элементов изучаемого объекта в аналогичные отношения элементов модели. Иными словами, модель -это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования. Предполагается, что изучение модели дает новые знания об объекте, либо позволяет определить наилучшие решения в той или иной ситуации.

Для описания основных видов элементов экономической модели рассмотрим конкретную ситуацию и построим соответствующую ей модель.

Пусть имеется фирма, выпускающая несколько видов продукции. В процессе производства используются три вида ресурсов: оборудование, рабочая сила и сырье; эти ресурсы однородны, количества их известны и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Задан расход каждого из ресурсов на производство единицы продукции каждого вида. Заданы цены продуктов. Нужно определить объемы производства с целью максимизации стоимости произведенной продукции (или, в предположении, что вся она найдет сбыт на рынке - общей выручки от реализации).

Для решения поставленной задачи нужно построить математическую модель, наполнить ее информацией, а затем провести по ней необходимые расчеты. Вначале при построении модели нужно определить индексы, экзогенные и эндогенные переменные и параметры. В нашей задаче свой индекс должен иметь каждый вид продукции (пусть это индекс i, меняющийся от 1 до n), а также вид ресурсов (если мы обозначаем их одной переменной; пусть в нашей задаче ресурсы обозначены разными переменными). Далее опишем эндогенные переменные - те, которые задаются вне модели, т.е. известны заранее, и параметры - это коэффициенты уравнений модели. Часто экзогенные переменные и параметры в моделях не разделяют. В рассматриваемой задаче заданы экзогенные переменные - имеющиеся количества оборудования К, рабочей силы L и сырья R; заданы параметры - коэффициенты их расхода на единицу i-й продукции k _i, l _i и r _i соответственно. Цены продуктов p _i также известны.

Далее вводятся обозначения для эндогенных переменных - тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не задаются в ней извне. В нашем случае - это неизвестные объемы производства продукции каждого i-го вида; обозначим их х _i .

Закончив описание переменных и параметров, переходят к формализации условий задачи, к описанию ее допустимого множества и целевой функции (если таковая имеется). В нашей задаче допустимое множество - это совокупность всех вариантов производства, обеспеченных имеющимися ресурсами. Оно описывается с помощью системы неравенств:

k ₁x ₁+ k ₂x ₂ + … + k _nx _n ≤ K, ∑ k _ix _i ≤ K,

l ₁x ₁ + l ₂x ₂ + … + l _nx _n ≤ L, или ∑ l _i x _i ≤ L,

r ₁ x ₁+ r ₂ x ₂ + … + r _n x _n ≤ R, ∑ r _ix _i ≤ R.

К этим ограничениям по ресурсам добавляются требования неотрицательности переменных x _i ≥ 0. Если бы какой-то ресурс нужно было израсходовать полностью (например, полностью занять всю рабочую силу), соответствующее неравенство превратилось бы в уравнение. Это сузило бы допустимое множество и, возможно, исключило бы из него первоначально наилучшее решение.

Если модель является оптимизационной (а данная модель такова), то наряду с ограничениями должна быть выписана целевая функция, т.е. максимизируемая или минимизируемая величина, отражающая интересы принимающего решение субъекта. Для данной задачи максимизируется величина

p ₁ x₁ + p ₂ x₂ + … + p _n x_n, или ∑ p _i x_i max.

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение (ЛПР). В действительности, по крайней мере:

1) ресурсы до некоторой степени взаимозаменяемы;

2) затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску (есть постоянные затраты, не связанные с объемом выпуска; предельные затраты меняются);

3) объемы ресурсов не строго фиксированы, они могут покупаться и продаваться, браться или сдаваться в аренду;

4) внутри каждого вида ресурсов можно выделить составляющие, функционально или качественно различные, в той или иной мере заменяющие или дополняющие друг друга и по-разному влияющие на объем выпуска;

5) цена продукта может зависеть от объема его реализации, то же касается цены ресурса;

6) фирма может использовать одну из конечного набора технологий (или сочетание нескольких таких технологий), характеризующихся определенными сочетаниями используемых ресурсов;

7) различные единицы получаемой прибыли могут иметь разную ценность для лица, принимающего решение (что обусловлено, например, особенностями налоговой системы);

8) интересы и предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли, поэтому целевая функция должна учитывать и другие количественные и качественные показатели;

9) для субъекта реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени, важны динамические взаимосвязи;

10) на ситуацию могут воздействовать случайные факторы, которые необходимо принять во внимание.

Многие разделы экономической теории посвящены изучению, описанию и моделированию перечисленных аспектов на различных уровнях хозяйственной деятельности, с той или иной степенью детализации и в различных сочетаниях.

Модели, используемые в экономике, можно подразделять на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария (рис.1): модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динамические.

Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: потребление, инвестиции, занятость, процентную ставку, количество денег и другие.

Рис.1. Классификация экономических моделей

Микроэкономическиемодели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики, либо поведение отдельной такой составляющей в рыночной среде. Вследствие разнообразия типов экономических элементов и форм их взаимодействия на рынке, микроэкономическое моделирование занимает основную часть экономико-математической теории. Наиболее серьезные теоретические результаты в микроэкономическом моделировании в последние годы получены в исследовании стратегического поведения фирм в условиях олигополии с использованием аппарата теории игр.

Теоретические модели позволяют изучать общие свойства экономики и ее характерных элементов дедукцией выводов из формальных предпосылок.

Прикладные модели дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и сформулировать рекомендации для принятия практических решений. К прикладным относятся прежде всего эконометрические модели, оперирующие числовыми значениями экономических переменных и позволяющие статистически значимо оценивать их на основе имеющихся наблюдений.

В моделировании рыночной экономики особое место занимают равновесные модели. Они описывают такие состояния экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести ее из данного состояния, равна нулю. В нерыночной экономике неравновесие по одним параметрам (например, дефицит) компенсируется другими факторами (черный рынок, очереди и т.п.). Равновесные модели дескриптивны, описательны.

В нашей стране долгое время преобладал нормативный подход в моделировании, основанный наоптимизации. Оптимизационные модели позволяют определять оптимальные варианты моделируемого процесса из множества альтернативных вариантов, для чего необходимо наличие критерия (системы критериев) оптимизации и эффективной процедуры поиска его экстремального значения. Оптимизация в теории рыночной экономики присутствует в основном на микроуровне (максимизация полезности потребителем или прибыли фирмой); на макроуровне результатом рационального выбора поведения экономическими субъектами оказывается некоторое состояние равновесия.

В моделяхстатических описывается состояние экономического объекта в конкретный момент или период времени.В них обычно зафиксированы значения ряда величин, являющихся переменными в динамике, - например, капитальных ресурсов, цен и т.п.

Динамическиемодели включают взаимосвязи переменных во времени. Динамическая модель не сводится к простой сумме ряда статических, а описывает силы и взаимодействия в экономике, определяющие ход процессов в ней. Динамические модели обычно используют аппарат дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления. В зависимости от того, работает модель в системах реального времени или предназначена для прогнозирования перспектив развития процессов, различают соответственно: модели реального времени и экстраполяционные модели.

Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели.

Стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют инструментарий теории вероятностей и математической статистики для их описания.