Перевод целых чисел из Р-й системы счисления в Q-ю.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

CXLVI,

I, V, X, L, C, D, M.

0,1,2,3,4,5,6.7,8,9.

Основные понятия.

ЛЕКЦИЯ 3. системы счисления

ВОПРОСЫ:

1. Основные понятия.

2. Двоичная система счисления.

3. Смешанные системы счисления.

4. Перевод чисел в системах счисления.

Литература:

[1], стр. 57 – 68.

Системой счисленияназывается совокупность приемов наименования и записи чисел.

При этом в любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы, которые называются базисными символами,а все остальные числа получаются в результате операций над базисными символами.

В современном мире широко распространена десятичная система счисления, которая представлена десятью базисными символами:

Получение любых других чисел обеспечивается за счет различного позиционного сочетания базовых символов, например число 1604 представлено всего четырьмя базисными символами, расположенными в соответствующих местах:

1 6 0 4

В римской системе счисления базисными символами являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000

с соответствующими знаковыми обозначениями:

При этом другие числа получаются сложением или вычитанием базисного символа по следующему алгоритму:

· если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются;

· если цифра слева меньше, чем цифра справа то левая цифра вычитается из правой цифры.

Так, например, число 146₁₀десятичной системы счисления в римской системе счисления имеет вид:

где С – 100₁₀, XL -40₁₀,VI - 6₁₀.

Системы счисления, в которых любое число получается путем сложения или вычитания базисных символов называются аддитивными. Например, римская система счислений.

Системы счисления, в которых любое число представляется только позиционным весом базовой цифры, называются позиционными. Например, десятичная система, в которой значение цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, обозначающих число. При этом, система счислений основывается на том , что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, а каждый разряд имеет вес равный степени 10.

Для числа 525,35₁₀ цифра 5 повторена три раза, но каждый раз она означает различное число, а рассмотренное число можно представить следующим образом:

525, 35 =

Таким образом, десятичная система записи любого числа Х₁₀ в виде последовательности цифр имеет вид:

и основывается на представлении этого числа в виде полинома

где каждый коэффициент может быть одним из базисных чисел.

Определение. ЧислоК единиц какого либо разряда, объединенных в единицу старшего разряда называется основанием позиционной системы. Так например, для десятичной системы объединением цифр 1 и 0 образуется старший разряд, т.е. основанием системы является число 10.

Для двоичной системы К = 2,

для троичной системы К=3,

для восьмеричной системы К=8 и т.д.

2. ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ.

В современной вычислительной технике, устройствах автоматики и связи широко используется двоичная система счислений, в которой для изображения числа используются только две базисные цифры :

0 и 1.

При этом перевод числа в старший разряд определяется цифрой 2, которой в двоичной системе соответствует число 10₂.

Таким образом, произвольное число Х в двоичной системе представляется в виде полинома следующего вида:

где каждый коэффициент может быть одним из базисных чисел 0 или 1.

Так, например изображения чисел десятичной системы в двоичной системе имеет вид:

0₁₀- 0₂

1₁₀- 1₂

2₁₀- 10₂

3₁₀- 11₂

4₁₀- 100₂

5₁₀- 101₂

6₁₀- 110₂

7₁₀- 111₂

8₁₀- 1000₂

9₁₀- 1001_2,

где цифры 2 и 10 при значении каждого числа указывают его систему счислений.

Таблица сложений для двоичной системы счислений имеет вид:

0+0=0 1+0=1

0+1=1 1+1=10

Таблица умножения в двоичной системе счислений имеет вид:

0х0=0 1х0=0

0х1=0 1х1=1

Так как в двоичной системе счислений при изображении любого числа используются только две цифры 0 и 1, то все электронные элементы ЭВМ могут находится только в дух состояниях:

1- включено или0 - выключено,

а простота арифметических операций является причиной того, что современные ЭВМ используют двоичную систему счислений.

3. СМЕШАННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Неудобство использования двоичной системы счисления из-за громоздкости записи чисел, особенно при разработке программ на машинном языке, привели к использованию восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления.

В восьмеричной системе счисления базовыми цифрами являются:

А запись любого числа в этой системе основывается на его разложении по степеням числа восемь с коэффициентами из базовых цифр. Например, число 83₁₀ десятичной системы можно представить следующим образом:

8310 =64₁₀+16₁₀+3₁₀= = 1238

В шестнадцатеричной системе счисления базисными являются цифры от 0 до 15. В этой системе для обозначения всех базисных цифр не хватает цифр десятеричной системы, поэтому для обозначения первых десяти цифр используют цифры десятичной системы от 0 до 9, а для обозначения последующих шести цифр используют буквы:

10-a, 11- b, 12- c, 13- d, 14 -e, 15-f.

Поэтому, например, число десятичной системы 175,510 в шестнадцатеричной системе имеет вид:

175,510= 160₁₀ + 15₁₀+ 8₁₀/16₁₀= = af,8₁₆

В ряде случаев, числа, заданные в одной системе счисления приходится изображать с помощью цифр другой системы счисления. Например, десятичные числа, с которыми мы привыкли работать, необходимо переводить в двоичные, с которыми должна работать ЭВМ. В этих случаях используются смешанные системы счисления, в которых каждый коэффициент Р-ичного разложения числа записывается в Q-ичной системе.

В такой системе Р называется старшим основанием, а Q - младшим основанием, а сама система счисления называется Q-Р-ичной..

Для того, чтобы запись числа в смешанной системе счисления была однозначной, на представление любой Р-ичной цифры отводится одно и то же количество Q-ичных разрядов, достаточное для представления максимального числа Р-ичной системы.

Так, для изображения числа в двоично-десятичной системе необходимо отвести четыре двоичных разряда потому, что максимальная цифра десятичной системы 9₁₀ отображается числом двоичной системы 1001₂, состоящей из четырех двоичных разрядов. Так например, число 195₁₀ десятичной системы запишется в двоично-десятичной системе в виде:

0001 1001 0101_2-10,

где последовательные тетраэды (четверки) двоичных чисел изображают цифры 1, 9, 5, записи числа в десятичной системе счисления.

При решении задач с помощью ЭВМ исходные данные задаются обычно в десятичной системе, полученные решения также представляются в десятичной системе, а непосредственно в машине они могут обрабатываться в двоичной или восьмеричной, или в другой системе счисления.

Таким образом, возникает необходимость перевода чисел из одной системы в другую.

4. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ В СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ.

При переводе чисел из одной системы счисления в десятичную систему счисления используют полином представления числа в Q-й системе счисления, а затем выполняют арифметические операции в десятичной системе счисления, например:

Например: перевод числа шестнадцатеричной системы af416 в десятичную систему счисления:

При обратном переводе чисел рассмотрим отдельно два случая перевода: целые и дробные числа.

В соответствии с представлением целого числа в системе Р по основанию в системе Q имеем:

Разделим правую и левую часть на Q в результате получим новую целую часть и дробную часть (остаток):

Проделав тоже самое, но уже с новым целым числом , получим другой остаток и другое целое число, с которым продолжим выполнение предыдущих операций, пока в остатке не получится число . Чтобы достичь этого, исходное число необходимо разделить на Q s+1 раз. При этом получаемый остаток будет описывать число в новой системе счисления Q, начиная с младшего разряда.