Теорема Гаусса для электростатического поля
Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность
В соответствии с формулой (1.5) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис 6),
.
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы Действительно, если окружить сферу (рис. 6) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность
Рис. 6 Рис. 7
Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 7), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, т.к. поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность.
Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, т.к. число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.
Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора 
будет равен 
, т.е.
. (1.6)
Знак потока совпадает со знаком заряда Q.
Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей i, создаваемых каждым зарядом в отдельности: 
. Поэтому
.
Согласно (1.6), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен . Следовательно,
. (1.7)
Формула (1.7) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: "поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри мой поверхности зарядов, деленной на ε0". Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским, а затем независимо от него применительно к электростатическому полю - К.Гауссом.