Замечания

Дифференцируемость

Определение производной функции через предел

Определение

История

Производная функции

 

 

Иллюстрация понятия производной

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Содержание · 1 История · 2 Определение o 2.1 Определение производной функции через предел o 2.2 Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0 · 3 Дифференцируемость · 4 Замечания · 5 Геометрический и физический смысл производной o 5.1 Тангенс угла наклона касательной прямой o 5.2 Скорость изменения функции · 6 Производные высших порядков · 7 Способы записи производных · 8 Примеры · 9 Правила дифференцирования · 10 Таблица производных некоторых функций · 11 Производная вектор-функции по параметру

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.[1]

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде

f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h)

если существует.

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,

 

Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0

 

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Основная статья: Дифференцируемая функция

Производная функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

 

Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление

при

· Назовём Δx = x − x0 приращением аргумента функции, а Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) приращением значения функции в точке x0. Тогда

 

· Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция

 

· Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.

· Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: