Определения
Сравнение бесконечно малых
Свойства бесконечно малых
Бесконечно большая величина
Бесконечно малая величина
Исчисление бесконечно малых и больших
Бесконечно малая и бесконечно большая
Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
Содержание · 1 Исчисление бесконечно малых и больших o 1.1 Бесконечно малая величина o 1.2 Бесконечно большая величина o 1.3 Свойства бесконечно малых · 2 Сравнение бесконечно малых o 2.1 Определения o 2.2 Примеры сравнения · 3 Эквивалентные величины o 3.1 Определение o 3.2 Теорема o 3.3 Примеры использования · 4 Исторический очерк |
Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.
Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f(x) − a = α(x), .
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsin x, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .
Последовательность an называется бесконечно большой, если .
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если .
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .
· Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
· Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
· Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
· Если an — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.
Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .
Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x) и β(x) (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).
· Если , то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Обозначают β = o(α).
· Если , то β — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α. Соответственно α = o(β).
· Если (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.
Это обозначается как β = O(α) или α = O(β) (в силу симметричности данного отношения).
· Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.
Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.