Властивості систем

Системи й задачі їхнього аналізу

Річні коливання тиску

 

Річні коливання атмосферного тиску можна знайти, співвідносячи середньомісячні величини тиску. Амплітуда цих коливань, тобто різниця між максимальним і мінімальним середньомісячним значенням тиску, менше всього в екваторіальній зоні (2-3 мб). У середніх широтах вона виражена значно різкіше та досягає 20-30 мб. Розрізняють три основних типи річного ходу атмосферного тиску.

1.Континентальний тип з мінімумом тиску літом і максимумом зимою. Найбільш різко він виражений у середніх широтах над великими материками, особливо над азіатським.

2.Океанічний тип з максимумом тиску літом і мінімумом зимою. На океанах у середніх широтах амплітуда річних коливань складає 5-6 мб, а до тропіків вона зменшується до 2-3 мб.

Ці два типи обумовлені різницею в нагріванні та охолоджені материків і океанів. У теплу пору року материки нагріваються сильніше, ніж океани. Тому над материками в цей період створюється більш низький атмосферний тиск, ніж над океанами. В холодну пору року материки охолоджуються сильніше, ніж океани, і тиск над ними у порівнянні з океанами відповідно підвищується.

3.Полярний і субполярний тип – з максимумом атмосферного тиску в квітні або травні, та мінімумом – у січні або лютому. Амплітуда річних коливань тут досягає приблизно 5–12 мб. Такий хід тиску пояснюється тим, що в квітні-травні температури над материками та океанами вирівнюються, тоді як над льодами Льодовитого океану температури залишаються низькими (і тут переважає високий тиск). У січні-лютому над більшою частиною Льодовитого океану спостерігається максимум повторюваності проходження циклонів, у зв’язку з чим тут тиск є пониженим.

У верхніх шарах атмосфери річний хід атмосферного тиску обернений приземному, тобто при континентальному типі максимум настає влітку, а мінімум – взимку. Відбувається це тому, що влітку прогрівається вся товща тропосфери, а взимку вона охолоджується. Звідси випливає, що влітку тиск з висотою зменшується повільніше, ніж взимку.

 

 

Поняття «система» не має, а на думку деяких авторів, і не може мати вичерпного й однозначного визначення. Це пов'язане з первинністю, аксіоматичним характером поняття, оскільки поняття «системність» дуже часто носить суб'єктивний характер і оцінюється через інші поняття, які також є первинними.

Блез Паскаль писав: «Я вважаю, що пізнати частини без знання цілого так само неможливо, як пізнати ціле без знання його частин».

Теорія систем вивчає загальні проблеми зв'язку цілого і його частин. У більше вузькому розумінні це питання, пов'язані з рішенням наступних проблем:

- визначення змісту проблем;

- призначення й (або) визначення цілей при прийнятті рішень;

- пошук шляхів рішення проблем;

- проектування й (або) побудова систем для досягнення цілей і т.д.

Так що ж буде розумітися під терміном «система»? Досить устояної є думка, що «система» («S») володіє мінімум чотирма властивостями:

1) Цілісність і членимість

Цілісність означає, що система сприймається навколишнім середовищем як єдиний елемент цього середовища. Членимість означає, що в системі можна виділити деякі елементи, сукупність яких разом з їхньою взаємодією й утворить систему. При цьому сукупність елементів має якісно нові властивості, які дозволяють розглядати їх як елемент більш складної системи. Нова якість, емерджентність, - це те, що визначає «обличчя» системи, ідентифікує її цілісність, і тому воно первинно для системи.

2) Інтегративні якості

Властивості, що забезпечують цілісність, які є у системи, але немає в елементів, що утворюють систему, називаються інтегративною якістю (ИК), вони визначають емерджентність. Важливо, що ИК не може бути виявлене як завгодно глибоким вивченням властивостей елементів. Наприклад, команда (бригада) може виконати задачі, які члени команди (бригади) окремо виконати не в змозі.

3) Зв'язку (відносення)

Система, як правило, взаємодіє з іншими системами (Fi, i=1,2,…),які для неї є зовнішнім середовищем, зв'язок здійснюється між деякими (або всіма) елементами, що належать даній системі, і елементами інших систем (див. мал. 1.1). Інші системи - це зовнішнє середовище для системи S.

Якщо взаємодія системи S із зовнішнім середовищем не розглядається (у теоретичних дослідженнях, наприклад), тоді система називається закритої або автономної. Множина змінних (координат), через які система S взаємодіє із зовнішнім середовищем, часто розділяють на підмножини вхідних X={xi, i=1,2…}і вихідних Y={yj; j=1,2…}координат системи.

У реальному світі той самий елемент може входити в різні системи. Взаємодія систем носить різноплановий характер, тому істотним питанням є визначення границь системи й виділення змінних Х,Y. Причому значення мають тільки зв'язку, що визначають інтегративну якість, тобто «імідж» системи.

Зв'язок підсистем кількісно задається множиною характеристик зв'язків В={bi, i=1,2,…}, до числа яких належить фізичне наповнення (енергетичний, інформаційний, речовинний, механічний зв'язок і т.д.), а також потужністю, спрямованістю й т.д.

 

 

 
 

 


Рис. 1.1 - Графічне подання системи й середовища

 

Формально зв'язок може бути представлена відображенням b:Х®за умови, що метрики множин Х и зв'язані функцією f(b):

.

Метрика (міра, відстань)– це спосіб виміру відстані між елементами множин а,b,сÎХ.

Метрика повинна задовольняти деяким визначальним властивостям:

а) r ≥ 0 при будь-яких а,b,c;

б) r(a,b) = 0 тоді й тільки тоді, коли a = b (аксіома ідентичності);

в) r(a,b) = r(b,a) (аксіома симетричності);

г) r(a,b) £ r(а,с) + r(с,b) (аксіома трикутника).

Пари (Х,rХ) називається метричним простором.

Приклади метрик:

а) r (а,b) = |a - b|;

б) r2(a,b) = - евклідова метрика в евклідовому просторі Rn,

в) r¥(а,b) =- чебишевска метрика;

г) rК(a,b) = - метрика Гельдера, К – ціле.

У загальному випадку - відношення бувають: унарні (самого із собою); бінарні (між двома елементами); тернарні (між трьома елементами); взагалі, - n-арні.

4) Організація

Уведемо в розгляд поняття «стан» елемента або системи.

Кількість станів (потужність множини станів) може бути звичайно, рахункова (кількість станів виміряється дискретно, але їхнє число нескінченно); потужності континуум (стани змінюються безупинно й число їх нескінченно й незліченно).

Стану можна описати через змінні стани. Якщо змінні - дискретні, то кількість станів може бути або кінцевим, або рахунковим. Якщо змінні - аналогові (безперервні), тоді - потужності континуум.

Мінімальна кількість змінних, через які може бути задане стан, називається фазовим простором. Зміна стану системи відображається у фазовому просторі фазовою траєкторією.

Рівняння стану системи:

Y = F(X, Z), (1.1)

де Z - змінні стани (вектор аналогових або дискретних величин),

Х - вхідні змінні, Y - вихідні змінні системи.

Однієї з найбільше часто використовуваних характеристик організації є ентропія(поворот, перетворення – грецьке).

Ентропія систем

Ступінь організації елементів у системі зв'язується зі зміною (зниженням) ентропії системи в порівнянні із сумарною ентропією елементів. Поняття ентропії уведене Больцманом для термодинамічних систем:

(1.2)

де - імовірність j-го стану (у теорії інформації – події); m - можливе число станів (подій).

Наприклад, два елементи А и В можуть кожного приймати два рівноймовірністні стани: «0»і «1». Імовірність кожного стану:

Р1(А) = Р2(А) = Р1(В) = Р2(В) = 0,5.

Для одного елемента ентропія складе

Н(А) = Н(В) = -0,5 log20,5 - 0,5log20,5 = 1.

Ентропія двох елементів:

Н(А) + Н(В) = 1 + 1 = 2.

Допустимо, що система S елементів А и В може приймати три стани: «-1», «0», «1» з імовірностями Р1(S) = Р3(S) = 0,2; Р2 = 0,6.

Тоді

Н(S) = -2.0,2.log20,2 - 0,6.log20,6 = -0,4×(-2,32) - 0,6×(-0,737) = 1,37.

Ентропія системи S менше суми ентропій елементів А и В на

DН = Н(А) + Н(В) - Н(S) = 2 - 1,37 = 0,63.

Для розрахунку зміни ентропії системи через імовірності станів дуже часто використовується метод Колмогорова.

Припустимо, дана структурна схема (граф) станів підсистеми S (див. мал. 1.2). Вихідним станом системи з рівним ступенем імовірності може бути один із чотирьох станів, тобто

.

Будемо вважати, що інтенсивності переходів l21, l32, l43, l14, l24 задані. Тоді можна показати, що швидкості зміни ймовірності знаходження системи в i-му стані визначаються як , (1.3)

де ; n – число вузлів графа (кількість станів);

mj - інтенсивності переходів по дугах, що входить в i-й вузол;

ri – число дуг, що входять в i-й вузол;

lk - інтенсивності переходів по дугах, що виходить із i-го вузла;

mi – число дуг, що виходять із i-го вузла;

Pi і Pj – імовірності знаходження системи в i-м і j-м станах відповідно.

Відмітимо, що

.

Стале значення ймовірності знаходження системи в i-м стані визначається з умови

.

Тоді для системи з n станами маємо систему з (n + 1) рівнянь із n невідомими:

; . (1.4)

Одне з рівнянь (1.4) можна відкинути, тому що воно може бути отримане з (n - 1) що залишилися.

Приклад.Приймемо l21 = 0,1, l32 = 0,2, l43 = 0,3, l14 = 0,4, l24 = 0,5. Тоді одержуємо:

l14.Р4 - l21.Р1 = 0

l21.Р1 + l24.Р4 - l32.Р2 = 0

l32.Р2 - l43.Р3 = 0

l43.Р3 – (l14 + l24).Р4 = 0

Р1 + Р2 + Р3 + Р4 = 1.

Із системи відкинемо друге рівняння й одержимо:

- 0,1.Р1 + 0.Р2 + 0.Р3 + 0.Р4 = 0

0.Р1 + 0,2.Р2 – 0,3.Р3 + 0.Р4 = 0

0.Р1 + 0.Р2 + 0,3.Р3 – 0,9.Р4 = 0

1 + 1.Р2 + 1.Р3 + 1.Р4 = 1.

 

Рішення отриманої системи: Р1 = 0,32, Р2 = 0,36, Р3 = 0,24, Р4 = 0,08.

Розрахунок ентропії ведеться по формулі

.

Для вихідного стану

Э0 = -4.0,25 . log20,25 = 2,

для кінцевого стану

Эк = -(0,32 . log20,32 + 0,36 . log20,36 + 0,24 . log20,24 + 0,08 . log20,08) = 1,835.

Тобто, зміна ентропії становить

DЭ = Э0 – Эк = 2 – 1,835 = 0,165.

Існують два основних підходи до розрахунку ентропії систем і цінності інформації.

Перший підхід заснований на декомпозиції вихідної задачі на етапи обчислення ймовірностей апостеріорної й апріорної ймовірності елементарних подій.

Методика розрахунку включає:

- декомпозицію вихідної задачі на послідовність таких елементарних подій, апріорна ймовірність яких відома, а апостеріорна може бути легко розрахована;

- розрахунок ентропії (або цінності інформації) кожної елементарної події;

- обчислення зміни ентропії вихідного стану стосовно кінцевого (або цінності інформації) шляхом підсумовування змін ентропії елементарних етапів (переходів, подій).

Даний підхід дозволяє уникнути обчислення ймовірності складних подій.

Другий підхід ґрунтується на використанні умовних ймовірностей подій. Останні іноді розрахувати досить складно.

Таким чином, ентропія виступає як міра хаосу, безладдя і її зниження означає збільшення організації.

Для інформаційних систем ступінь організації дуже часто залежить від кількості інформації, що може бути використана для керування.

 

1.2. Кількість інформації

У теорії інформації кількість інформації часто вимірюють у бітах (binary digital), де біт визначається як цінність I інформації про результат двох рівноймовірносних подій. Наприклад, ця інформація про те, що зараз день, а не ніч.

Імовірність кожного з подій

Р(Д) = 0,5; Р(Н) = 0,5;

I = log2, (1.5)

де Р1(х) – апостеріорна ймовірність; Р2(х) – апріорна ймовірність.

Для приклада:

Крім бітов (термін увів Тьюки) використовуються

«нат»

і

«діт» .

1.3. Класифікація систем

Існує досить велика кількість класифікаційних ознак (властивостей) систем, зокрема:

- відкритість - замкнутість (відсутність зв'язку із зовнішнім середовищем);

- детермінованість (визначеність) - стохастичність (випадковість);

- простота - складність;

- наявність мети - відсутність мети;

- субстанціональні ознаки (по цих ознаках виділяють: природні, концептуальні, штучні системи);

- наявність спрямованості зв'язків і характер зв'язків: не спрямовані, зворотні, лінійні, нелінійні;

- наявність або відсутність ієрархії елементів у системі;

- що еволюціонують - не еволюціонують (жорсткі, не адаптуємі) системи;

- безперервні - дискретні;

- по фізичному наповненню: речовинні, енергетичні, інформаційні й т.д.;

- по потужності зв'язків: коефіцієнти зв'язку, інтенсивності, чутливості, коефіцієнти кореляції й т.д.;

- по ролі зв'язку: обмежуюча, координуюча, позитивна, негативна.

Для характеристики властивостей систем виділяють фактори:

- системоутворюючі;

- системоруйннуючі;

- системозначимі (властивості, що характеризують клінік якість, у тому числі поза системою);

- системовизначаючі (властивості визначають інтегративну якість системи) і ін.

По ознаці «складність» виділяються два типи систем (прості - складні).

Існує кілька аспектів, по яких система може класифікуватися як проста або складна.

Досить загальне із практичної точки зору визначення складної системи: це така система, аналіз і прогноз зміни стану якої неможливий із заданою точністю за заданий час.

Для штучних систем, до яких ставиться переважна більшість систем, створюваних людиною, виділяють три основних рівні формулювання мети:

1) мета не дуже ясна (цілеспрямовані системи);

2) мета ясна й намічені шляхи її досягнення (цілеспрямовані системи);

3) мета визначена й формалізована на рівні математичної постановки, є алгоритм досягнення мети (алгоритмічні системи).

Реальні постановки проблем можуть являти собою проміжні варіанти перерахованих випадків.

 

2. Елементи теорії множин

Найбільш загальні формальні описи елементів і систем опираються на мову теорії множин. Розглянемо деякі елементи цієї теорії.

 

2.1. Основні поняття й терміни

Множина – сукупність елементів, об'єднаних по якій-небудь ознаці.

Через «» позначається відношення приналежності, тобто «хА» означає, що х належить множині А. Якщо х не є елементом А, те пишеться «хА».

Множини А и В уважаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів: А = В. У противному випадку А ≠ В.

Елементами множини можуть бути будь-які об'єктивні й суб'єктивні поняття, поєднувані відповідно до деякого закону, правилом, ознакою й т.д.

Множини можуть містити підмножини, наприклад, якщо В - підмножину А, то воно записується через відношення включення «ВА», тобто кожний елемент А є елементом В (але не навпаки, див. мал. 2.1).

 

 

Рис. 2.1

 

Якщо ВА и А ≠ В, те В є власною підмножиною А, тобто ВА.

Множина, що не містить елементів, називається порожньою, наприклад, В = Æ.

Сімейство всіх підмножин множини А позначається як Р(А).

Множини, елементами якого є множини, звичайно називають класом.

Завдання множини можна здійснювати в такий спосіб:

1) перерахуванням А := {a1, a2, … , an};

2) характеристичним предикатом (правилом):

А:= {x | P(x)} ,

наприклад, елементами А є всі значення х такі, що sin(x) ³ 0.

3) процедурою, що породжує:

А:= {x | x := f},

наприклад, А := {n | for n = 1 to 9 do yield}.

Потужність множини А позначається як .

Потужністю множини А називається клас всіх множин, еквівалентних А. Еквівалентність (~), на відміну від рівності – це можливість установити взаємно однозначну відповідність між елементами множин А и В: А ~ В.

Використовуються наступні основні градації потужності:

а) n-кінцеві множини - це потужність множин з набору будь-яких n елементів; множина кінцева;

б) якщо елементів нескінченна кількість, але їх можна перелічити (наприклад, множина чисел), потужність такої кількості позначають через χ0. Воно називається рахунковим.

в) якщо множина еквівалентна множині всіх натуральних чисел, його потужність позначається через С и воно називається континуальним (потужність континуума). Множина не рахункова.

Потужності довільних множин називаються кардинальними числами.

Очевидно, що С «більше» χ0, а χ0 «більше» n.

Виникає ряд питань: чи може потужність бути більше С? Наприклад, яка потужність множини комплексних чисел? Як оцінити цю потужність?

Уведемо в розгляд так зване прямий (декартовий) добуток множин А и В:

М = А х В:= {(a, b) | a Î A, b Î B }.

Це множина впорядкованих пар елементів множин А и В.

Якщо множина дійсних чисел R має потужність С, множина уявних чисел I також має потужність С. Тоді здається, що . Однак можна показати, що .

Для відповіді на подібні питання приведемо властивості потужності:

n1 + n2 = n1 + n2, χ0 + C = C, χ0 ×χ0 = χ0,

n + χ0 = χ0, C + C = C, χ0×C = C,

χ0 + χ0 = χ0, n1×n2 = n1×n2, C×C = C.

Бінарним відношенням між множинами А и В називається будь-яка підмножина R Î A × В. Наприклад, якщо А = В - множини парних дійсних чисел від 0 до 8, тоді А х В - це множина пар парних чисел: 00, 02, 04, ... 88.

 

2.2. Операції над множинами

1) Об'єднання (сума, диз'юнкція)

Х = А v В := {x | x Î A v x Î B }

«v» = «або» (див. мал. 2.2, а)

 

 


Рис. 2.2

 

2) Перетинання (добуток, кон’юнкція)

Х = А Ç В := {x | x Î A & x Î B}

«&» = «і» (див. мал. 2.2, б).

3) Різниця (див. мал. 2.2, в)

Х = А \ В := {x | x Î A & x Ï B}.

 

4) Симетрична різниця (див. мал. 2.2, г)

Х = (А \ В) È (В \ А) = А Δ В := {x | x Î A & x Ï B, x Î В & x Ï А }.

5) Доповнення

.

Елементи всіх множин можна вважати елементами деякої універсальної множини U – універсума,щовідіграє роль одиниці. Тоді різниця U \ A називається доповненням множини А и часто позначається (-А) або (¬А).

 

2.3.Властивості операцій над множинами

1) Ідемпотентність: А È А = А, А Ç А = А.

2) Комутативність: А È В = В È А, А Ç В = В Ç А.

3) Асоціативність: А È (В È С) = (А È В) È С,

А Ç (В Ç С) = (А Ç В) Ç С.

4) Дистрибутивність: А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С),

А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С).

5) Поглинання: (А Ç В) È А = А, (А È В) Ç А = А.

6) Властивості нуля: А Ç Æ = Æ, А È Æ = А.

7) Властивості одиниці: А Ç U = A, А È U = U.

8) Інволютивність: .

9) Закони де Моргана: , .

10) .

11) .

12) Рефлексивність: А Í А.

13) Транзитивність: якщо А Í В и В Í С, те А Í С.

Алгебраїчна операція визначена на А, якщо можна вказати закон, по якому будь-якій парі (a, b) з АхА ставиться у відповідність третій елемент, що належить цій же множині.

c = a + b – додавання, с = a×b – множення, c = a°b – у загальному випадку.

Основні властивості операцій: комутативність і асоціативність.

Операція - це завжди відношення, але не навпаки.

Множина К називається кільцем, якщо в ньому визначені операції додавання й множення, обидві асоціативні й дистрибутивні, причому додавання комутативно й має зворотну операцію.

Множина К називається лінійним або векторним простором, якщо для елементів (векторів) з К визначені операції додавання й множення на число Р и виконуються аксіоми:

1) Кожній парі векторів (х, у) відповідає вектор (х + у) і називається сумою, причому х + у = у + х (комутативність) і х + (у+ z) = (х + у) + z (асоціативність).

Існує єдиний нульовий вектор О такий, що х + О = х, "х.

Існує вектор (-х) такий, що х + (-х) = О.

2) Кожній парі (a, х), де a - число, а х - вектор, відповідає вектор aх, причому:

a (b х) = (a b) х, 1×х = х.

3) a×(х + у) = a×х + a×у, (a + b)×х = a×х + b×х.

 

2.4. Алгебри

Множини й функції на них - це два типи об'єктів, на яких в остаточному підсумку будується будь-яка математична теорія.

Якщо аргументи функції f пробігають множина М и вона приймає значення з тієї ж множини, то f – це алгебраїчна операція на М.

Отже, алгебра – це множина М разом з набором операцій на ньому. Позначається алгебра як двійка (М, S), де S:={j1, j2, …, jn} – набір (множина) операцій, сигнатура алгебри, а М – носій алгебри.

Групою називається множина, якщо:

1) виконується умова наявності однієї асоціативної операції;

2) у групі є елемент «е», що задовольняє умові a.e = e.a = a, він називається «одиницею»;

3) для кожного елемента а існує єдиний елемент (а-1) такий, що

a.a-1 = e, (a-1).a = e.

Якщо, крім того, для "a, b ÎG має місце комутативність a.b = b.a, те група називається комутативної або абелевою.