Напряжения в произвольной точке поперечного сечения

Выявление внутренних сил и нахождение их численных значений является одной из первых задач науки о сопротивления материалов, так как вес расчеты зависит, от величины этих сил. Для количественной оценки распределения внутренних сил в рассматриваемом поперечном сечении вводится мера, которую называют напряжением.

Применим метод мысленных сечений. (рис.3.1).

Рис.3.1. Замена действия верхней части тела на нижнюю часть внутренними силами

Математически формально напряжение вводится как «вектор полного напряжения» p в исследуемой точке.

p = . (3.1)

Такое определение понятия напряжения ввел французский ученый Коши5 в первой четверти 19 века, и оно успешно используется по настоящее время.

Рис. 3.2. Вектор полного напряжения и его составляющие

Вектор p —это связанный вектор внутренних сил, так как характеризуется не только численным значением и направлением, но и точкой приложения (рис. I.8, б). Вместо полного вектора p наиболее часто находят его составляющие компоненты, т. е. определяют проекции вектора на нормаль к площадке ΔА и на плоскость этой площадки. Первая составляющая обозначается греческойбуквой s (сигма) и называется нормальным напряжением;вторая составляющая — буквой t(тау)и называется касательным напряжением (рис. I.8, в).

σ, τ.

Нормальное напряжениестремится, как бы сблизить или оторвать две частицы тела друг от друга, а касательное напряжение — стремится сдвинуть частицы тела в плоскости сечения относительно друг друга. Единицы измерения напряжения определяются отношением единиц измерения силы к единицам измерения площади: н/м², Па, МПа и т. д.

3.2 Напряженное состояние частицы твердого тела

Рассмотрим упругое тело, находящееся в равновесном состоянии при действии на него заданной системы внешних сил. Через произвольную точку М этого тела можно провести бесконечное множество различно ориентированных площадок: 1 –– 1, 2 –– 2, 3 –– 3 и т. д. (рис. 3.3, а). На каждой из этих площадок будет действовать свой вектор полного напряжения: p₁, p₂, p₃ и т. д.

Рис. 3.3. Напряженное состояние частицы твердого тела.

& Напряжённым состоянием в точке М упругого тела называют такое состояние бесконечно малой частицы тела, которое определяется совокупностью всех векторов полных напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проходящим через эту точку.

Для исследования напряженного состояния вводится местная система координатных осей xyzс началом в точке O. Выделим бесконечно малую частицу в виде параллелепипеда таким образом, чтобы исследуемая точка М находилась внутри него (рис. 3.3, б). На каждой из шести граней будет действовать свой вектор p_i полного напряжения. На рис. 3.4 векторы полного напряжения на трех видимых гранях частицы представлены компонентами напряжений6 по координатным осям; на невидимых гранях будут действовать такие же напряжения с идентичными обозначениями.

Рис. 3.5. Компоненты напряжений на видимых гранях частицы.

Вектор p_x, действующий на площадке, перпендикулярной оси Ox, в проекциях на оси координат Oxyz выражают компонентами σ_xx, τ_yx, τ_zx, а для площадок, перпендикулярных осям Oy и Oz –– как σ_yy, τ_xy, τ_zy и σ_zz, τ_xz, τ_yz. Шесть компонентов τ_xy, τ_yx, τ_yz τ_zy, τ_zx, τ_xz — называются касательными напряжениями, и три компонента σ_xx, σ_yy, σ_zz — нормальными напряжениями. В обозначениях напряжений первый индекс - направление оси, параллельно которой действует данный компонент, второй индекс — направление оси, параллельно которой расположена нормаль к площадке. Совокупность девяти названных величин определяет тензор напряжений

Т =.(3.2)

Напряжения на любой произвольной площадке в той же точке могут быть выражены через компоненты тензора T по координатным площадкам. Тензор напряжений полностью определяет напряженное состояние в точке.

Рассмотрим равновесия выделенного параллелепипеда с размерами граней: dx, dy, dz.С этой целью сначала приравняем к нулю сумму моментов относительно оси z отвсех сил действующих на частицу, которые могут вызвать эти моменты (рис.3.6).

Рис.3.6. К равновесию частицы относительно оси z.

В результате получим уравнение:

.

Отсюда следует, что t_xy = t_yx. Приравняв к нулю сумму моментов всех сил относительно двух других осей x и y,получим еще два аналогичных выражения. В результате имеем три равенства

t_xy = t_yx, t_yz = t_zy ,t_zx = t_xz ,(3.3)

которые выражают собой правило или закон парности касательных напряжений.Согласно этому правилу касательные напряжения с одноименными индексами равны по величине. Закон парности гласит: касательные напряжения, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках и направленные к общему ребру этих площадок(или от него),равны по величине.Закон парности уменьшает число независимых компонентов тензора напряжений (3.2) c девяти до шести.

В любой точке упругого тела всегда можно найти положение трех взаимно перпендикулярных плоскостей, на которых касательных напряжений нет. Такие плоскости называются главными площадками напряженного состояния(рис. 3.7). Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются «главными нормальными напряжениями»илипростоглавными напряжениями, σ₁, σ₂, σ₃. Причем напряжение σ₁ = σ_max, а σ₃ = σ_min., при обозначении главных напряжений выдерживают два условия:

s ₁ ³ s ₂ и s₂ ³ s ₃ . (3.4)

Рис. 3.7. Главные площадки, напряжения и оси напряженного состояния.

Оси координат, перпендикулярные к главным площадкам, называются главными осями напряженного состояния. Цифровые обозначения главных осей (1, 2 и 3) совпадают с нумерацией индексов главных напряжений σ₁, σ₂, σ₃, действующих на главных площадках. Применительно к главным осям напряженного состояния, из девяти компонентов тензора напряжений (3.2)сохраняются лишь три независимых компонента:

. (3.5)

Вывод: Если положение главных площадок известно, то для задания напряженного состояния вполне достаточно трех компонентов: σ₁, σ₂ и σ₃.