F-распределение и проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей.
Гипотезы о дисперсиях имеют особенно большое значение в технике, т.к. измеряемая дисперсией величина рассеивания характеризует такие исключительно важные показатели, как точность машин и приборов, точность технологических приемов и т. д.
Формулировка задачи:
X и Y подчиняются нормальному закону распределения
и объёмы выборок из X и Y
и дисперсии выборок из X и Y
Оценкой является , а -
Опр. Совместный закон распределения статистик и является F-распределением, или распределением Фишера – Снедекора.
Если справедливо, то:
Выбрав вероятность p=1-и по таблице определяем критическое значение
Вывод: Если вычисленное значение ,то с надёжностью p=1-можно считать расхождение средних значимым (неслучайным)
Рассмотрим случ. величину V – нормально распределённую с
Произведем две независимые выборки с объёмами и
Для оценки можно использовать и
Случайные величины и - распределены по закону с и
Опр. Случайная величина определяемая отношением
называется случайной величиной с распределением Фишера - Снедекора.
Существуют таблицы для F – распределения в которых
Возвращаемся к задаче :
Выбрав уровень значимости по таблице F – распределения находим
- критическая область
- область допустимых значений
10.5 Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия .
Во многих практических задачах точный закон распределения используемой случайной величины неизвестен, т.е. является гипотезой, которая требует статистической проверки.
Х – исследуемая случ. величина.
- X подчиняется закону распределения F(x).
Проводим выборку из n независимых наблюдений.
Строим эмпирическое распределение F*(x)
Сравнение эмпирического F*(x) и теоретического распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины - критерия согласия.
Примеры: Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.
Наиболее часто употребим критерий согласия .
Разобьем всю область изменения Х на L интервалов.
- количество элементов, попавших на i-ый интервал
По закону распределения F(x) можно определить {вероятность попадания Х на}
- теоретическое количество элементов, попавших на
… | |||
… | |||
… |
- ()
Если верна, то {} подчиняется биноминальному закону.
При -а распределена нормально
Доказательство:
В литературе доказывается, что:
- имеет распределениес k=(n-1)
Величина при имеет распределениес k=(l-r-1)
(r - число параметров распределения F(x))
Следовательно, в качестве меры расхождения между и для используется критерий:
=
Правило применения критерия .
Выбрав уровень значимости , по таблице определяем
Если > , то отвергается
< , то принимается
10.6 Вычисление объёма выборки.
После того как для оценки интересующего параметра генеральной совокупности обоснованно выбран способ образования выборки, приступают к расчету необходимого объёма выборки, задавшись желаемой степенью точности оценки и доверительной вероятностью .
Рассмотрим случайную выборку с возвратом:
Х – нормально распределена
- известна
Интервал мат. ожидания:
Длина доверительного интервала:
Длина доверительного интервала определяет точность параметра
откуда
Если неизвестна, то предварительно берут небольшую пробную выборку и по её данным делают приближенную оценку параметра .
где - выборочная дисперсия пробной выборки
- число, взятое из таблицы, соответствующее вероятности p и числу наблюдений n.
Глава 11 Основы дисперсионного анализа.