Поверхностные интегралы 1 рода
Определения. Поверхность наз. гл., если в " ее точке $ касательная плоскость, и она плавно меняется при переходе в другую точку. Поверхность задают с помощью уравнений и наиболее удобными являются параметрические, они имеют вид и выражают координаты точки поверхности через параметры
. Для гл. поверхности необходимо, чтобы эти уравнения подчинялись опред. условиям. Их можно выразить через частные производные от радиуса вектора точки.
Множествоназ. элем гл. поверхн., если его можно задать уравн.
,
, где
– допуст. множ., при этом функция
удовлетворяет условиям:
1) непр., 2)
, 3) правило
действует вз-одн.
Условие 1) означает, что можно провести касат. к изолиниям и они непр. меняются, 2) означает, что касат. векторы лин. незав. и образуют касат. пл., 3) позволяет считать пару
координатами точки поверхн.
Площадь ЭГП выражается по опред. интегралом . Такой вид площадь приобретает в результате следующих рассмотрений. Пусть D прямоуг., разобьем его на частичные прямоуг., берем один из них, его образ на E – криволин четырехугольник, стороны его приблизительно =
, а пл. = длине
, сумма всех таких порций образует интегральную сумму указанного двойного инт. Можно показать, что инт. не зависит от регулярной параметризации поверхн. Выражение
наз. элем площади.
Пусть f огранич на гл. поверхн. ,
- разбиение
на n частей, площади и диаметры которых =
, в каждой части выберем т.
и образуем инт. сумму
. Введем ранг:
и опр. предел сумм:
если
как только
незав. от выбора
.
Поверхностным интегралом наз. число , если предел $, при этом
наз. инт. по E. Приведем дост. признак инт.: если
непр. на E, то
существует.