Вычисление двойных интегралов

Область D называется простой, если ее граница L пересекается с любой ее секущей не более чем в двух точках.

Вычисление двойного интеграла по простой области выполняется путем сведения двойного интеграла к повторным интегралам по одной из следующих двух схем:

,

здесь замкнутая линия L – граница области D разбивается вертикаль-ными касательными к L (x=a и x=b) на две линии каждая из которых описывается однозначной функцией и (рис. 6).

Рис. 6

Для расстановки пределов интегрирования во внутреннем интеграле, по переменной y, необходимо направить фронт векторов в положительном направлении оси OY. Уравнение линии входа фронта векторов в область D зашифровано в нижнем пределе внутреннего интеграла, линии выхода - в верхнем пределе. Интегрирование между линиями и ведется на интервале (a,b), что фиксируется пределами внешнего интеграла по переменной x ;

,

здесь L разбивается горизонтальными касательными(y=c и y=d) на две линии каждая из которых описывается однозначной функцией и

Рис. 7

(рис. 7). Для расстановки пределов интегрирования во внутреннем интеграле, по переменной x, фронт векторов направляется в положительном направлении оси OX. Уравнение линии входа фронта векторов в область D зашифровано в нижнем пределе внутреннего интеграла, линии выхода - в верхнем пределе. Интегрирование между линиями и ведется на интервале , что фиксируется пределами внешнего интеграла по переменной y .

В случае если область интегрирования D не является простой областью, то для вычисления двойного интеграла необходимо разбить ее прямыми линиями на простые области и вычислять интегралы по простым областям с помощью одной из выше приведенных схем.