Свойства двойного интеграла
Конструкция двойного интеграла аналогична конструкции обычного определенного интеграла, отсюда следует и аналогия в свойствах.
1. Двойной интеграл суммы функций равен сумме двойных интегралов от функций слагаемых:
.
2. Постоянный сомножитель можно выносить за знак интеграла:
.
3. Если область D разбить на две (или несколько) подобласти , то:
.
4. Если m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции в области D, то
, (5)
где S – площадь области D. Соотношение (5) выражает содержание теоремы об оценке двойного интеграла.
5. , (6)
где точка . Значение
называется средним значением функции
в области D, а соотношение (6) выражает содержание теоремы о среднем для двойного интеграла.
6. Из геометрического смысла двойного интеграла следует, что, если , то
- площадь области D, т.е., в этом случае, двойной интеграл выражает объем прямоугольного цилиндра с основанием D и высотой равной единице, такой объем численно равен площади основания цилиндра.