История вопроса.

Теория устойчивости получила свое развитие еще в XVIII веке, когда Леонард Эйлер строго поставил и решил задачу устойчивости состояния равновесия механический системы - стержня, сжатого сжимающей силой. Дальнейшее развитие теория устойчивости получила в трудах Ляпунова A.M. Им были предложены два метода для исследования устойчивости механических систем. Первый метод тем или иным образом исследовал возмущенные решения, которые в основном искались в виде рядов и па основе их свойств делался вывод об устойчивости нулевого решения исходной системы. Этот метод применим только к ограниченному классу случаев. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах Малкина И.Г., Четаева Н.Г., Барбашина Е.А., Зубова В.И., Козлова В.В. Близкое направление по исследованию асимптотического поведения решений и выводов по устойчивости развивается в работах Еругина Н.П., Воскресенского Е.В.

В отличи и от первого метода, второй метод Ляпунова является более общим. В его основе лежит исследование функций, обладающих специальными свойствами. Одним из основных преимуществ данного метода является то, что он не ограничивается только вопросами устойчивости, но также позволяет ответить на ряд других важных вопросов. Например, оценка области асимптотической устойчивости, получение условий, при которых нулевое решение остается устойчивым под воздействием различных возмущений и так далее. Развитию данного метода посвящено большое количество работ.

Одним из основных подходов для решения вопроса об устойчивости для нелинейных систем является замена исследуемой системы на некоторую вспомогательную систему, которая является более простой для исследования. Для упрощенной системы доказывается устойчивость и показывают, что данное свойство сохраняется при переходе к первоначальной системе.

Еще Ляпуновым были получены условия, при которых линейное приближение решает вопрос об устойчивости нулевого решения. Им также были получены условия, когда вопрос об устойчивости не может быть решен только исследованием линейных членов. В результате приходится рассматривать члены более высокого порядка. Эта задача получила дальнейшее развитие в следующих работах.

В некоторых случаях приходится исследовать системы, разложение которых в ряд не содержит линейных членов. В результате этого задача сводится к исследованию систем с однородными правыми частями. Исследованием таких систем занимались Красовский Н.Н., Малкин И.Г., Зубов В.И. Было показано, что возмущения более высокого порядка однородности не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. Также были получены оценки на решения системы в том случае, когда нулевое решение является асимптотически устойчивым. Зубовым В.И. было показано, что асимптотическая устойчивость для данного класса систем возможно только тогда, когда порядок однородности является рациональным числом с нечетным числителем и знаменателем. Также им было показано, что при условии асимптотической устойчивости нулевого решения системы существует однородная функция Ляпунова, при этом данная функция является столько же раз непрерывно дифференцируемой, как и правые части системы.

В случае, когда правые части являются нестационарными, анализ устойчивости значительно усложняется. В своей работе Ляпунов предложил подход, который позволяет решить эту проблему, когда правые части являются периодическими функциями, но для более общего случая задача не была решена. Одним из подходов, которые позволяют перейти от исследования нестационарной системы к исследованию стационарной, является метод усреднения. Развитием данного метода занимались такие ученые, как Ван-дер-Поль Б., Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А.

Было строго математически обосновано применение данного метода, а также получена оценка отклонения решения исходной системы от решения усредненной системы на конечном и бесконечном интервале. Полученные результаты были сформулированы для достаточно широкого класса систем и в следствие этого предполагались сильные ограничения на правые части уравнений. В случае однородных правых частей удается значительно ослабить данные ограничения.

Александров А.Ю. в своих работах исследовал взаимосвязь между устойчивостью нулевого решения усредненной системы и исходной нестационарной системы. Им рассматривались системы вида где fs(x) и hj(x) - однородные функции порядка ц > 1 и а > 1 соответственно. Делалось предположение, что нулевое решение невозмущенпой системы асимптотически устойчиво по Ляпунову и на основе этого делался вывод об асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. Основным методом исследования являлся метод оценок. В работах Александрова А.Ю. были также исследованы различные случаи возмущающей функции bsj(t). Для случая, когда интеграл от этой функции ограничен, были получены условия на порядки однородности fi и а, при которых нулевое решение возмущенной системы остается устойчивым.