Размещения

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, содержащее k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов. Из определения вытекает, что .

Размещения из n элементов по k элементов – все k-элементные подмножества n – элементного множества, различающиеся не только составом элементов, но и порядком их следования. Например, для четырехэлементного множества a, b, c, d размещениями из 4 элементов по 3 элемента являются подмножества:

abc, acb, bac, bca, cab, cba,

abd, adb, bad, bda, dab, dba,

acd, adc, cad, cda, dac, dca,

bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb.

Число всех размещений из n по k элементов обозначается символом . (Читается: «число размещений из n по k» или «А из n по k»). А – первая буква французского слова «arrangement», что означает размещение, приведение в порядок.

Число размещений из n по k элементов определяется следующей формулой:

. (5.4)

Используя снова равенство n!=(n-k)!(n-k+1)(n-k+2)…(n-1)n и сократив числитель и знаменатель формулы (5.4) на (n-k)!, получим следующую формулу для числа размещений из n по k элементов:

, где k>0. (5.5)

Пример 5.9. Сколько различных нарядов, состоящих из 7 курсантов, можно составить из взвода численностью 20 курсантов, если каждый курсант в наряде отличается от другого своими обязанностями?

Решение. Теперь уже количество различных нарядов равно не числу сочетаний из 20 курсантов по 7 курсантам, а числу размещений из 20 по 7 - . По формуле (5.5) вычисляем = 390 700 800.

Пример 5.10.Сколько существует различных цифровых номеров автомашин, цифры которых не повторяются?

Решение. Если цифры номера машины не повторяются, то количество комбинаций номеров равно числу размещений из 10 (общее количество цифр) по 3 (количество цифр в номере автомашины), т.е. равно

.